In Problems solve the given differential equation by undetermined coefficients

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Isso está relacionado com o estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:

Então, substituindo na equação:

$fatorando :
Como , temos:

Portanto, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equaç��o não homogênea . Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular também constante. Ou seja, vamos supor que , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Calculando as derivadas de :

Substituindo na equação:

Isso não faz sentido, o que significa que nossa suposição inicial não funcionou. Isso ocorre porque a constante é uma solução da equação homogênea quando a equação não tem termo constante, mas neste caso, precisamos ajustar nossa suposição.

Passo 7

Quando a suposição inicial falha, multiplicamos por para encontrar uma nova forma para a solução particular. Então, vamos tentar .
Calculando as derivadas:

Substituindo na equação:


Passo 8

Com , a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Derive as seguintes funções:
In Problems 41 and 42 solve the given initial-value problem in which the input function is discontinuous. [Hint: Solve each problem on two intervals, and then find a solution so that and are continuous at (Problem 41) and at (Problem 42).]
where
Derive as seguintes funções:
Derive as seguintes funções: