In Problems
solve the given differential equation by undetermined coefficients
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso está relacionado com o estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Então, substituindo na equação:
$fatorando
Como
, temos:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equaç��o não homogênea
. Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular também constante. Ou seja, vamos supor que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Isso não faz sentido, o que significa que nossa suposição inicial não funcionou. Isso ocorre porque a constante é uma solução da equação homogênea quando a equação não tem termo constante, mas neste caso, precisamos ajustar nossa suposição.
Passo 7
Quando a suposição inicial falha, multiplicamos por
para encontrar uma nova forma para a solução particular. Então, vamos tentar
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 8
Com
, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Derive as seguintes funções:
In Problems 41 and 42 solve the given initial-value problem in which the input function
is discontinuous. [Hint: Solve each problem on two intervals, and then find a solution so that
and
are continuous at
(Problem 41) and at
(Problem 42).]
where
Derive as seguintes funções:
Derive as seguintes funções: