In Problems 41 and 42 solve the given initial-value problem in which the input function
is discontinuous. [Hint: Solve each problem on two intervals, and then find a solution so that
and
are continuous at
(Problem 41) and at
(Problem 42).]
where
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial inicial onde a função de entrada
é descontínua. A equação que temos é:
com
Aqui, a matéria envolvida é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e funções forçadas por uma entrada descontínua. Vamos precisar resolver a equação em dois intervalos: de
a
e de
em diante, garantindo que a solução e sua derivada sejam contínuas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos os valores característicos resolvendo a equação característica:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Para
, temos
, que é uma constante. Vamos assumir uma solução particular constante
.
Derivando, temos
e
. Substituindo na equação diferencial:
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 4
A solução geral para
combina a solução homogênea e a particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
para encontrar
e
.
Para
:
Derivando
:
Para
:
Então, a solução para
é:
Passo 5
Para
,
, então a equação diferencial fica homogênea:
A solução geral é a mesma da equação homogênea:
Passo 6
Agora, precisamos garantir que a solução e sua derivada sejam contínuas em
. Ou seja,
e
.
Calculamos
e
usando a solução para
:
Para a solução em
:
Igualando as continuidades:
Da segunda equação, temos
.
Substituindo na primeira equação:
E então,
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: