In Problems 41 and 42 solve the given initial-value problem in which the input function g(x) is discontinuous. [Hint: Solve each problem on two intervals, and then find a solution so that y and y' are continuous at x = pi / 2 (Problem 41) and at x = pi (Problem 42).]
y'' - 2y' + 10y = g(x), y(0) = 0, y'(0) = 0 where
g(x) = { 20, 0 <= x <= pi; 0, x > pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial inicial onde a função de entrada é descontínua. A equação que temos é:
com
Aqui, a matéria envolvida é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e funções forçadas por uma entrada descontínua. Vamos precisar resolver a equação em dois intervalos: de a e de em diante, garantindo que a solução e sua derivada sejam contínuas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos os valores característicos resolvendo a equação característica:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Para , temos , que é uma constante. Vamos assumir uma solução particular constante .
Derivando, temos e . Substituindo na equação diferencial:
Portanto, a solução particular para é:

Passo 4

A solução geral para combina a solução homogênea e a particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais e para encontrar e .
Para :
Derivando :
Para :
Então, a solução para é:

Passo 5

Para , , então a equação diferencial fica homogênea:
A solução geral é a mesma da equação homogênea:

Passo 6

Agora, precisamos garantir que a solução e sua derivada sejam contínuas em . Ou seja, e .
Calculamos e usando a solução para :
Para a solução em :
Igualando as continuidades:
Da segunda equação, temos .
Substituindo na primeira equação:
E então,

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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