A inclinação da reta tangente num ponto qualquer (x, y) de uma curva é 3 raizx. Se o ponto ( 9,4 ) está na curva, ache uma equação para ẹla.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Temos que a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer (x, y) de uma curva é dada por 3 raizx. Sabemos que o ponto (9, 4) pertence a essa curva. O conteúdo que estamos lidando aqui é cálculo diferencial, especificamente a relação entre a derivada (que nos dá a inclinação) e a equação da curva. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a função que descreve a curva a partir dessa informação sobre a inclinação.

Passo 2

A inclinação da reta tangente à curva no ponto (x, y) é a derivada da função que queremos encontrar. Vamos chamar essa função de f(x). Então, podemos escrever:
f'(x) = 3 raizx
Agora, precisamos encontrar a função f(x). Para isso, vamos integrar a derivada. A integral de uma função nos dá a função original mais uma constante. Vamos calcular a integral de 3 raizx:
f(x) = integral 3 raizx , dx
A integral de raizx é 23 x^32, então, quando multiplicamos por 3, ficamos com:
f(x) = 3 cdot 23 x^32 + C
Onde C é a constante que vamos determinar. Simplificando, obtemos:
f(x) = 2 x^32 + C

Passo 3

Agora, precisamos usar o ponto (9, 4) que sabemos que pertence à curva para encontrar a constante C. Vamos substituir x = 9 e f(9) = 4 na equação que encontramos:
4 = 2 cdot 9^32 + C
Precisamos calcular 9^32. Primeiro, 9^12 é 3 (porque a raiz quadrada de 9 é 3). Agora elevamos isso ao cubo:
3^3 = 27
Portanto, substituindo na equação, temos:
4 = 2 cdot 27 + C
4 = 54 + C
Agora, isolamos C:
C = 4 - 54
C = -50

Resposta

Agora que encontramos C, podemos escrever a equação da curva. A função é:
f(x) = 2x^32 - 50

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