A inclinação da reta tangente num ponto qualquer
de uma curva é
. Se o ponto ( 9,4 ) está na curva, ache uma equação para ẹla.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado da questão. Temos que a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer
de uma curva é dada por
. Sabemos que o ponto
pertence a essa curva. O conteúdo que estamos lidando aqui é cálculo diferencial, especificamente a relação entre a derivada (que nos dá a inclinação) e a equação da curva. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a função que descreve a curva a partir dessa informação sobre a inclinação.
Passo 2
A inclinação da reta tangente à curva no ponto
é a derivada da função que queremos encontrar. Vamos chamar essa função de
. Então, podemos escrever:
Agora, precisamos encontrar a função
. Para isso, vamos integrar a derivada. A integral de uma função nos dá a função original mais uma constante. Vamos calcular a integral de
:
A integral de
é
, então, quando multiplicamos por 3, ficamos com:
Onde
é a constante que vamos determinar. Simplificando, obtemos:
Passo 3
Agora, precisamos usar o ponto
que sabemos que pertence à curva para encontrar a constante
. Vamos substituir
e
na equação que encontramos:
Precisamos calcular
. Primeiro,
é 3 (porque a raiz quadrada de 9 é 3). Agora elevamos isso ao cubo:
Portanto, substituindo na equação, temos:
Agora, isolamos
:
Resposta
Agora que encontramos
, podemos escrever a equação da curva. A função é:
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(b) (0.5 PT.) Expressar em notac, ao de intervalo o conjunto
.
Estude o sinal da expressão: