A inclinação da reta tangente num ponto qualquer de uma curva é . Se o ponto ( 9,4 ) está na curva, ache uma equação para ẹla.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Temos que a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer de uma curva é dada por . Sabemos que o ponto pertence a essa curva. O conteúdo que estamos lidando aqui é cálculo diferencial, especificamente a relação entre a derivada (que nos dá a inclinação) e a equação da curva. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a função que descreve a curva a partir dessa informação sobre a inclinação.

Passo 2

A inclinação da reta tangente à curva no ponto é a derivada da função que queremos encontrar. Vamos chamar essa função de . Então, podemos escrever:
Agora, precisamos encontrar a função . Para isso, vamos integrar a derivada. A integral de uma função nos dá a função original mais uma constante. Vamos calcular a integral de :
A integral de é , então, quando multiplicamos por 3, ficamos com:
Onde é a constante que vamos determinar. Simplificando, obtemos:

Passo 3

Agora, precisamos usar o ponto que sabemos que pertence à curva para encontrar a constante . Vamos substituir e na equação que encontramos:
Precisamos calcular . Primeiro, é 3 (porque a raiz quadrada de 9 é 3). Agora elevamos isso ao cubo:
Portanto, substituindo na equação, temos:
Agora, isolamos :

Resposta

Agora que encontramos , podemos escrever a equação da curva. A função é:

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(b) (0.5 PT.) Expressar em notac, ao de intervalo o conjunto .
Estude o sinal da expressão: