integral 27 t^3-1raiz[3]t d t

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 27 t^3-1raiz[3]t d t. Essa é uma integral que envolve funções polinomiais e uma raiz cúbica. Para resolver, precisaremos simplificar a fração e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 27 t^3-1raiz[3]t. Sabemos que raiz[3]t = t^1/3. Para dividir 27 t^3-1 por t^1/3, podemos reescrever:
27 t^3t^1/3 - 1raiz[3]t = 27 t^3 - 13 - 1 t^-13
Agora, resolvendo os expoentes:
27 t^93 - 13 - t^-13 = 27 t^83 - t^-13
Agora, a integral que precisamos calcular é:
integral (27 t^83 - t^-13) dt

Passo 3

Agora vamos integrar cada termo separadamente. Para integrar funções do tipo t^n, usamos a fórmula:
integral t^n dt = t^n+1n+1 + C, ; n neq -1
Vamos aplicar isso para as partes da nossa integral:
  1. Para 27 t^83, temos n = 83, então:
integral 27 t^83 dt = 27 cdot t^83+183+1 = 27 cdot t^113113 = 27 cdot 311 t^113 = 8111 t^113
  1. Para -t^-13, temos n = -13, então:
integral -t^-13 dt = -t^-13+1-13+1 = -t^2323 = -32 t^23

Passo 4

Agora, juntando os resultados das integrais que fizemos, temos:
integral 27 t^3-1raiz[3]t d t = 8111 t^113 - 32 t^23 + C
onde C é a constante de integração que sempre adicionamos nas integrais.

Resposta

A resposta final da integral é:
integral 27 t^3-1raiz[3]t d t = 8111 t^113 - 32 t^23 + C

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