A inclinação da superfície na direção no ponto é e a inclinação dessa superfície na direção no ponto é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a superfície definida por e precisa encontrar a inclinação dessa superfície nas direções dos eixos e no ponto . Para isso, vamos usar derivadas parciais, que são usadas para encontrar a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação na direção de . Isso significa que vamos derivar em relação a , tratando como constante. A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa inclinação no ponto . Substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação na direção de no ponto é 9.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a inclinação na direção de . Para isso, derivamos em relação a , tratando como constante. A derivada parcial de em relação a é:

Passo 5

Agora, calculamos essa inclinação no ponto . Substituímos e na derivada que encontramos:
Então, a inclinação na direção de no ponto é 12.

Resposta

A inclinação da superfície no ponto é:
  • Na direção de : 9
  • Na direção de : 12

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Seja . Então e
Seja . Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto:
;
Encontre as derivadas des seguintes funcoès:
Encontre as derivadas des seguintes funcoès: