Seja
. Então
e
Passo 1
Então, a gente tem a função . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções com mais de uma variável, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
. A função é um produto de duas funções de
:
e . Então, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é 1, então:
Passo 4
Agora, precisamos derivar em relação a
. Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a
é
, e então multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Voltando à expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
. A função tem apenas uma parte que depende de
, que é . Então, usamos a regra da cadeia novamente.
A derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
. Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto:
;
Sejam
e
. Determine:
.
A inclinação da superfície
na direção
no ponto
é
e a inclinação dessa superfície na direção
no ponto
é
・
Encontre as derivadas des seguintes funcoès: