Seja f(x, y) = x sen(x y). Então f_x(x, y) = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 e f_y(x, y) =

Passo 1

Então, a gente tem a função . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções com mais de uma variável, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a derivada de em relação a . A função é um produto de duas funções de : e . Então, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Sabemos que a derivada de em relação a é 1, então:

Passo 4

Agora, precisamos derivar em relação a . Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e então multiplicamos pela derivada de em relação a .
A derivada de em relação a é , então:

Passo 5

Voltando à expressão de :

Passo 6

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a . A função tem apenas uma parte que depende de , que é . Então, usamos a regra da cadeia novamente.
A derivada de em relação a é , então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

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