Seja . Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis: . A tarefa é encontrar a curva de nível dessa função que passa pelo ponto . Curva de nível é, basicamente, um conjunto de pontos onde a função tem o mesmo valor constante.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é esse valor constante para a curva de nível que passa por . Para isso, substituímos e por 0 na função:
Então, o valor constante é 0. Ou seja, a curva de nível que queremos é definida por .

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação da curva de nível usando :
Para deixar essa equação mais clara, podemos resolver para . Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por (e lembrando que ):

Resposta

A equação da curva de nível que passa pelo ponto é:

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Sejam e . Determine:
.
Seja .
Com quais valores de a curva de nível contém pelo menos um ponto?
Seja . Então e
A inclinação da superfície na direção no ponto é e a inclinação dessa superfície na direção no ponto é