Indique o domínio e a imagem (quando der) das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar o domínio e a imagem da função . A gente vai precisar entender um pouco sobre funções e restrições que deixam a gente saber onde a função está “valida” (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a função pode receber sem dar problema, tipo divisão por zero ou raiz de número negativo.
  1. Raiz Quadrada: Dentro da raiz, a expressão precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar a raiz de número negativo dentro dos números reais. Então:
  2. Denominador Diferente de Zero: No denominador, a expressão não pode ser zero porque divisão por zero é indefinida. Então:
Então, juntando essas duas condições:
Em notação de intervalo, o domínio fica:

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os valores que pode assumir quando está no domínio.
Vamos pensar bem aqui. A função tem o numerador que é sempre não negativo, já que é uma raiz quadrada. O denominador pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de :
  • Se , e é positivo.
  • Se , e é negativo.
Como pode variar de 0 a infinito conforme aumenta, também pode assumir qualquer valor real positiva ou negativa, exceto possivelmente zero. Mas olhando a função, olha só:
  • Quando , .
Então, pode ser zero, além dos valores positivos e negativos. Portanto, a imagem da função é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

Domínio:
Imagem: (todos os números reais)

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