Indique o domínio e a imagem (quando der) das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar o domínio e a imagem da função
. A gente vai precisar entender um pouco sobre funções e restrições que deixam a gente saber onde a função está “valida” (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a função pode receber sem dar problema, tipo divisão por zero ou raiz de número negativo.
-
Raiz Quadrada: Dentro da raiz, a expressão
precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar a raiz de número negativo dentro dos números reais. Então: -
Denominador Diferente de Zero: No denominador, a expressão
não pode ser zero porque divisão por zero é indefinida. Então:
Então, juntando essas duas condições:
Em notação de intervalo, o domínio fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os valores que
pode assumir quando
está no domínio.
Vamos pensar bem aqui. A função
tem o numerador
que é sempre não negativo, já que é uma raiz quadrada. O denominador
pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de
:
- Se
, e é positivo. - Se
, e é negativo.
Como
pode variar de 0 a infinito conforme
aumenta,
também pode assumir qualquer valor real positiva ou negativa, exceto possivelmente zero. Mas olhando a função, olha só:
- Quando
, .
Então,
pode ser zero, além dos valores positivos e negativos. Portanto, a imagem da função é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
Domínio:
Imagem:
(todos os números reais)
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