Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função e também calcular a sua derivada. Para isso, vamos precisar saber onde cada parte da função está definida e aplicar as regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Vamos ver cada termo da função:
  1. : É um polinômio, que está definido para todo .
  2. : O logaritmo natural só está definido quando .
  3. : A função exponencial está definida para todo , e como está no denominador, nunca é zero, então também está definida para todo .
  4. : Outro polinômio, definido para todo .
Então, o único termo que impõe restrição é , que exige que . Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a . Vamos derivar cada termo separadamente usando as regras de derivação:
  1. Derivada de :
    Usamos a regra da potência, que diz que a derivada de é .
  2. Derivada de :
    A derivada do logaritmo natural é .
  3. Derivada de :
    Podemos reescrever como . A derivada de em relação a é .
  4. Derivada de :
    Novamente, aplicamos a regra da potência.
Agora, juntando todas as derivadas, temos:

Resposta

O domínio da função é e a sua derivada é:

Exercícios relacionados

Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;
Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;
Resolva o PVI
onde e são coordenadas polares. A solução é a curva chamada Lemniscata.
Resolva as seguintes desigualdades