Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
e também calcular a sua derivada. Para isso, vamos precisar saber onde cada parte da função está definida e aplicar as regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Vamos ver cada termo da função:
-
: É um polinômio, que está definido para todo . -
: O logaritmo natural só está definido quando . -
: A função exponencial está definida para todo , e como está no denominador, nunca é zero, então também está definida para todo . -
: Outro polinômio, definido para todo .
Então, o único termo que impõe restrição é
, que exige que
. Portanto, o domínio da função
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a
. Vamos derivar cada termo separadamente usando as regras de derivação:
-
Derivada de
: Usamos a regra da potência, que diz que a derivada deé . -
Derivada de
: A derivada do logaritmo natural é. -
Derivada de
: Podemos reescrevercomo . A derivada de em relação a é . -
Derivada de
: Novamente, aplicamos a regra da potência.
Agora, juntando todas as derivadas, temos:
Resposta
O domínio da função é
e a sua derivada é:
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Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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Resolva o PVI
onde
e
são coordenadas polares. A solução é a curva chamada Lemniscata.
Resolva as seguintes desigualdades