Indique os domínios das funções dadas e derive-as:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função trigonométrica: . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa função existe (domínio) e também encontrar a sua derivada. Para isso, vamos precisar lembrar das regras de funções trigonométricas e das regras de derivação, como a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio são todos os valores de onde a função está definida.

Passo 3

Na função , temos uma divisão por . Sabemos que a divisão por zero não é permitida, então precisamos garantir que .

Passo 4

Vamos identificar os valores de onde . Sabemos que quando , onde é qualquer número inteiro ( ).

Passo 5

Portanto, o domínio da função são todos os números reais exceto aqueles múltiplos de . Ou seja:

Passo 6

Agora, vamos derivar a função . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , a derivada é:

Passo 7

Identificando e , vamos calcular suas derivadas:

Passo 8

Aplicando a regra do quociente:

Passo 9

Lembrando que , podemos simplificar o numerador:
Então,

Resposta

O domínio da função é e a derivada de é:

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Calcule os limites:
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