Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função trigonométrica: . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
essa função existe (domínio) e também encontrar a sua derivada. Para isso, vamos precisar lembrar das regras de funções trigonométricas e das regras de derivação, como a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio são todos os valores de
onde a função está definida.
Passo 3
Na função , temos uma divisão por . Sabemos que a divisão por zero não é permitida, então precisamos garantir que .
Passo 4
Vamos identificar os valores de
onde . Sabemos que quando
, onde
é qualquer número inteiro (
).
Passo 5
Portanto, o domínio da função são todos os números reais exceto aqueles múltiplos de
. Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos derivar a função . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, a derivada é:
Passo 7
Identificando
e , vamos calcular suas derivadas:
Passo 8
Aplicando a regra do quociente:
Passo 9
Lembrando que , podemos simplificar o numerador:
Então,
Resposta
O domínio da função é
e a derivada de
é:
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Calcule os limites:
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