Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente indicar o domínio da função
e também derivar essa função. Então, vamos trabalhar com funções exponenciais e funções trigonométricas, além de aplicar as regras de derivação. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e saber derivar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Passo 3
A função exponencial
está definida para todo número real, ou seja,
. Agora, a função
é o cosseno dividido pelo seno,
. A função
não está definida quando o seno de
é zero, ou seja, quando
, onde
é qualquer número inteiro.
Passo 4
Portanto, para a função
, o domínio será todos os números reais exceto aqueles valores de
onde
, ou seja,
para qualquer inteiro
.
Passo 5
Agora, vamos derivar a função
. Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 6
Identificando as funções:
e
.
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
:
-
A derivada de
é , porque a derivada da função exponencial é ela mesma. -
A derivada de
é . Isso vem da regra de derivação das funções trigonométricas, onde a derivada da cotangente é menos o quadrado da cosecante.
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar
:
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais exceto
, onde
é um número inteiro. A derivada da função é:
Exercícios relacionados
a) 2
b) 3
C)
d) 0
e) 4 .
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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Indique os domínios das funções dadas e derive-as: