Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente indicar o domínio da função e também derivar essa função. Então, vamos trabalhar com funções exponenciais e funções trigonométricas, além de aplicar as regras de derivação. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e saber derivar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

A função exponencial está definida para todo número real, ou seja, . Agora, a função é o cosseno dividido pelo seno, . A função não está definida quando o seno de é zero, ou seja, quando , onde é qualquer número inteiro.

Passo 4

Portanto, para a função , o domínio será todos os números reais exceto aqueles valores de onde , ou seja, para qualquer inteiro .

Passo 5

Agora, vamos derivar a função . Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 6

Identificando as funções: e .
Agora, vamos encontrar as derivadas de e :
  • A derivada de é , porque a derivada da função exponencial é ela mesma.
  • A derivada de é . Isso vem da regra de derivação das funções trigonométricas, onde a derivada da cotangente é menos o quadrado da cosecante.

Passo 7

Aplicando a regra do produto:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto , onde é um número inteiro. A derivada da função é:

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, ponito) Encontre, o valor de .
a) 2
b) 3
C)
d) 0
e) 4 .
Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;
Indique os domínios das funções dadas e derive-as: