Indique os domínios das funções dadas e derive-as: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função e também derivar essa função. Isso envolve entender onde a função está definida e como calcular a sua derivada usando regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da , que é o cosseno dividido pelo seno ( ), a função não está definida quando o seno de é zero, ou seja, quando , onde é um número inteiro. Portanto, o domínio de são todos os reais menos os múltiplos de :

Passo 3

Agora vamos derivar a função . Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que se temos uma função , a derivada é .
Aqui, e .
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos . Sabemos que a derivada de é:
onde é a cosecante de .
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

O domínio da função é todo número real exceto os múltiplos de , ou seja:
E a derivada da função é:

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Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
Calcule os limites:
Considerando as funções dadas abaixo, calcule: se ;
Calcule os limites: