Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=raiz8-x^2+2 x-8 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer plotar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e visualização gráfica em 3D. Precisaremos entender a forma da função, determinar onde ela está definida (domínio) e então representar graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da raiz, 8 - x^2 + 2x - 8y^2 >= 0 . Para a raiz quadrada ser real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Começamos completando o quadrado para a parte que envolve -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x) = -((x - 1)^2 - 1) = - (x - 1)^2 + 1 :
- (x - 1)^2 + 1 + 8 - 8y^2 >= 0 - (x - 1)^2 - 8y^2 + 9 >= 0 (x - 1)^2 + 8y^2 <= 9
Substituindo de volta na inequação:

Passo 4

A inequação f(x, y) = raiz8 - x^2 + 2x - 8y^2 = raiz9 - (x - 1)^2 - 8y^2 representa uma elipse no plano . Isso significa que a função está definida dentro dessa elipse. Agora, vamos entender a forma da função :
Isso descreve uma superfície 3D onde .

Passo 5

Para plotar essa função, podemos usar uma ferramenta de gráficos 3D, como o GeoGebra ou o Matplotlib no Python. A superfície será uma espécie de “cúpula” esférica acima da elipse definida, já que aumenta à medida que nos afastamos do limite da elipse até o ponto máximo.

Passo 6

Se preferir, aqui está um código em LaTeX usando o pacote pgfplots para plotar a função:
\documentclass{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.17}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \begin{axis}[
    view={60}{30},
    xlabel=$x$, ylabel=$y$, zlabel=$f(x,y)$,
    domain=-2:4, y domain=-1:1,
    samples=50,
    ]
    \addplot3[surf, shader=interp, colormap/viridis]
    {sqrt(9 - (x - 1)^2 - 8*y^2)};
  \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Resposta

Seguindo esses passos, o gráfico da função será uma superfície 3D em forma de cúpula sobre uma elipse no plano . Você pode visualizar essa superfície usando ferramentas de gráficos 3D ou o código LaTeX fornecido.

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