Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
A tarefa é verificar se essa EDO é exata. Se não for, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois disso, resolver a EDO e, se houver uma condição inicial, encontrar a solução particular. Para isso, vamos precisar saber sobre EDOs exatas e como verificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a verificação da exatidão. A forma padrão de uma EDO exata é:
Vamos reorganizar a equação dada:
Agora, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar essa função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Substituímos
na expressão de
:
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 4:
Onde
, mas como
é uma constante arbitrária, podemos simplesmente escrever
.
Resposta
A solução geral da EDO é:
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(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro (parte interna) e pelo cone
(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
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