Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
x^3 + y^3 * dy/dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
A tarefa é verificar se essa EDO é exata. Se não for, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois disso, resolver a EDO e, se houver uma condição inicial, encontrar a solução particular. Para isso, vamos precisar saber sobre EDOs exatas e como verificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a verificação da exatidão. A forma padrão de uma EDO exata é:
Vamos reorganizar a equação dada:
Agora, identificamos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .
Calculando:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Vamos encontrar essa função . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando :
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Substituímos na expressão de :
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 4:
Onde , mas como é uma constante arbitrária, podemos simplesmente escrever .

Resposta

A solução geral da EDO é:

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Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^(2 x)(2 cos y dx - sen y dy) = 0, y(0) = 0
Indique com limites de integração e utilizando coordenadas cilíndricas, as integrais iteradas que calculam:
(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro (x-1)² + y² = 1 (parte interna) e pelo cone z^2 = (x^2 + y^2) / 4
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(e^y - y e^x) + (x e^y - e^x) dy/dx = 0
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^(-2 theta) - 2 r e^(-2 theta) d theta / d r = 0