Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
A tarefa é verificar se essa EDO é exata. Se não for, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois disso, resolver a EDO e, se houver uma condição inicial, encontrar a solução particular. Para isso, vamos precisar saber sobre EDOs exatas e como verificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a verificação da exatidão. A forma padrão de uma EDO exata é:
Vamos reorganizar a equação dada:
Agora, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar essa função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Substituímos
na expressão de
:
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 4:
Onde
, mas como
é uma constante arbitrária, podemos simplesmente escrever
.
Resposta
A solução geral da EDO é: