Usando o teste da raiz, determine se as séries são ou não convergentes:
(e) sumn=1^infty 2^nn^3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos usar o teste da raiz para determinar se a série converge ou não. O teste da raiz é uma ferramenta da análise de séries que ajuda a decidir sobre a convergência analisando o comportamento das raízes enésimas dos termos da série.

Passo 2

O teste da raiz envolve calcular o limite:
L = limn to infty raiz[n]| 2^nn^3 |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos calcular o limite raiz[n]2^nn^3 = raiz[n]2^nraiz[n]n^3 . Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
2raiz[n]n^3
Sabemos que , então fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular raiz[n]n^3 = n^3/n . Podemos reescrever isso como:
limn to infty n^3/n = (limn to infty n^1/n)^3 = 1^3 = 1
Sabemos que quando tende ao infinito, tende a 1. Então:

Passo 5

Substituindo de volta no limite principal:
L = limn to infty 2n^3/n = 21 = 2

Passo 6

De acordo com o teste da raiz:
  • Se : a série converge absolutamente.
  • Se : a série diverge.
  • Se : o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz.

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