Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q). Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre custos, faturamento e lucro de uma indústria que fabrica um único produto. A gente vai precisar entender como calcular o lucro total a partir das funções de custo e faturamento. Nosso objetivo é descobrir qual é a menor quantidade de produtos que a indústria precisa fabricar para não ter prejuízo, ou seja, para que o lucro seja pelo menos zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada função representa:
  • Faturamento Total (FT): é o dinheiro que a empresa recebe com a venda dos produtos. A função dada é $ FT(q) = 5q $, onde $ q $ é a quantidade de produtos vendidos. Isso significa que para cada produto vendido, a empresa ganha R$5.
  • Custo Total (CT): é o dinheiro que a empresa gasta para fabricar os produtos. A função dada é $ CT(q) = 2q + 12 $. Aqui, $ 2q $ representa o custo variável por produto (R$2 por unidade) e o $ +12 $ é o custo fixo, que é um valor que a empresa tem que pagar independentemente da quantidade produzida.
  • Lucro Total (LT): é a diferença entre o faturamento e o custo total, ou seja, $ LT(q) = FT(q) - CT(q) $.
Agora, queremos encontrar a quantidade mínima $ q $ para a qual o lucro não seja negativo. Isso significa que precisamos resolver a desigualdade:
FT(q) = 5q
Substituindo as funções dadas:
q
Vamos simplificar essa expressão:
5 - **Custo Total (CT)**: é o dinheiro que a empresa gasta para fabricar os produtos A função dada é
Aqui,
Agora, vamos isolar o $ q $:
representa o custo variável por produto (R
+12
LT(q) = FT(q) - CT(q)

Resposta

A quantidade mínima de produtos que a indústria precisa fabricar para não ter prejuízo é 4 unidades.

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