Na indústria a montagem de um item é feita em duas etapas. Os tempos necessários (em segundos) para cada etapa são independentes. O tempo médio da primeira etapa é de 75 minutos com variância de 16 min^2. O tempo médio da segunda etapa é de 125 min e variância de 100 min^2. Qual a probabilidade de que sejam necessários, para montar a peça:
b) Menos de 180 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um processo de montagem dividido em duas etapas, onde o tempo de cada etapa é independente. A primeira etapa leva em média 75 minutos com variância de 16 minutos², e a segunda leva em média 125 minutos com variância de 100 minutos². A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de que o tempo total para montar a peça seja menos de 180 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de soma de variáveis aleatórias independentes e distribuição normal. Vamos calcular a média e a variância totais, e depois usar a distribuição normal para achar a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os tempos para a mesma unidade. A questão pede menos de 180 segundos, que é igual a 3 minutos. Então, queremos saber a probabilidade de o tempo total ser menor que 3 minutos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média total do tempo de montagem. Como as duas etapas são independentes, a média total é a soma das médias das duas etapas:

Passo 4

Em seguida, calculamos a variância total. A variância da soma de variáveis independentes é a soma das variâncias:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que o tempo total seja menos que 3 minutos. Mas a média total é 200 minutos, o que significa que 3 minutos é muito menor que o tempo médio. Nesse caso, a probabilidade é praticamente zero, já que é altamente improvável que a montagem complemente tão rapidamente.

Passo 6

Para formalizar, podemos padronizar o valor usando a fórmula de normalização:
Um valor de de -18.28 está muito abaixo de qualquer valor crítico comum na tabela da distribuição normal, indicando uma probabilidade praticamente nula.

Resposta

A probabilidade de que sejam necessários menos de 180 segundos (3 minutos) para montar a peça é praticamente 0%.

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