Suponha que um mecanismo eletrônico tenha vida média de 1.000 horas de uso contínuo e que segue uma distribuição exponencial. Suponha que o custo de fabricação de um item seja 10,00 reais e o preço de
vendas 50,00 reais. O fabricante garante total devolução se . Qual é o lucro esperado do item. R.37, 42

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre a vida média de um mecanismo eletrônico, que é de 1.000 horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial. Além disso, temos informações sobre custos e preços de venda, e uma garantia de devolução total se determinada condição for atendida. Nosso objetivo é calcular o lucro esperado desse item. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a distribuição exponencial e como calcular probabilidades relacionadas a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como a vida útil de um produto. A função de densidade da distribuição exponencial é:
onde é a taxa de falha. Sabemos que a vida média é de 1.000 horas, então:
é

Passo 3

A garantia de devolução total ocorre se . Pelo contexto, parece que representa a fração da vida útil, ou seja, horas. Então, a condição para devolução é se o mecanismo falhar em até 900 horas.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de que o mecanismo falhe em até 900 horas. Para a distribuição exponencial, a função de distribuição acumulada (CDF) é:
Substituindo e :
Calculando , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o lucro esperado. Temos duas situações:
  1. Sem devolução ( horas): O lucro é o preço de venda menos o custo de fabricação.
A probabilidade dessa situação é .
  1. Com devolução ( horas): O fabricante devolve o valor total, então o lucro é negativo, correspondente ao custo de fabricação.
A probabilidade dessa situação é .

Passo 6

Finalmente, calculamos o lucro esperado ( ) somando os lucros ponderados pelas suas respectivas probabilidades:

Resposta

O lucro esperado do item é de aproximadamente 10,33 reais.

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