Suponha que um mecanismo eletrônico tenha vida média de 1.000 horas de uso contínuo e que segue uma distribuição exponencial. Suponha que o custo de fabricação de um item seja 10,00 reais e o preço de
vendas 50,00 reais. O fabricante garante total devolução se
. Qual é o lucro esperado do item. R.37, 42
vendas 50,00 reais. O fabricante garante total devolução se
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre a vida média de um mecanismo eletrônico, que é de 1.000 horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial. Além disso, temos informações sobre custos e preços de venda, e uma garantia de devolução total se determinada condição for atendida. Nosso objetivo é calcular o lucro esperado desse item. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a distribuição exponencial e como calcular probabilidades relacionadas a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como a vida útil de um produto. A função de densidade da distribuição exponencial é:
onde
é a taxa de falha. Sabemos que a vida média é de 1.000 horas, então:
Passo 3
A garantia de devolução total ocorre se
. Pelo contexto, parece que
representa a fração da vida útil, ou seja,
horas. Então, a condição para devolução é se o mecanismo falhar em até 900 horas.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de que o mecanismo falhe em até 900 horas. Para a distribuição exponencial, a função de distribuição acumulada (CDF) é:
Substituindo
e
:
Calculando
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o lucro esperado. Temos duas situações:
- Sem devolução (
horas): O lucro é o preço de venda menos o custo de fabricação.
A probabilidade dessa situação é
.
- Com devolução (
horas): O fabricante devolve o valor total, então o lucro é negativo, correspondente ao custo de fabricação.
A probabilidade dessa situação é
.
Passo 6
Finalmente, calculamos o lucro esperado (
) somando os lucros ponderados pelas suas respectivas probabilidades:
Resposta
O lucro esperado do item é de aproximadamente 10,33 reais.