Sejam
e
funções diferenciáveis no intervalo
. Mostrar que para todo
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar três propriedades do Wronskiano, que é uma ferramenta usada em Equações Diferenciais para verificar a independência linear de funções. As funções dadas são
e
, todas diferenciáveis em um intervalo
. Vamos precisar entender como calcular o Wronskiano e aplicar algumas regras de álgebra. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
(i) Mostrar que
Primeiro, lembremos que o Wronskiano de duas funções
e
é dado por:
Agora, vamos calcular
:
Expandindo as derivadas:
Distribuindo os termos:
Agora, vamos separar isso em dois Wronskianos:
Que é exatamente:
Passo 3
(ii) Mostrar que
Vamos calcular o Wronskiano das funções
e
:
Calculando as derivadas:
Distribuindo os termos:
Observamos que os termos
se cancelam:
Passo 4
(iii) Mostrar que
Vamos calcular o Wronskiano das funções
e
:
Calculando as derivadas:
Distribuindo os termos:
Os termos
se cancelam:
Resposta
Assim, mostramos que: