Sejam
e
funções diferenciáveis no intervalo
. Mostrar que para todo
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar três propriedades do Wronskiano, que é uma ferramenta usada em Equações Diferenciais para verificar a independência linear de funções. As funções dadas são
e
, todas diferenciáveis em um intervalo
. Vamos precisar entender como calcular o Wronskiano e aplicar algumas regras de álgebra. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
(i) Mostrar que
Primeiro, lembremos que o Wronskiano de duas funções
e
é dado por:
Agora, vamos calcular
:
Expandindo as derivadas:
Distribuindo os termos:
Agora, vamos separar isso em dois Wronskianos:
Que é exatamente:
Passo 3
(ii) Mostrar que
Vamos calcular o Wronskiano das funções
e
:
Calculando as derivadas:
Distribuindo os termos:
Observamos que os termos
se cancelam:
Passo 4
(iii) Mostrar que
Vamos calcular o Wronskiano das funções
e
:
Calculando as derivadas:
Distribuindo os termos:
Os termos
se cancelam:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Mostre que
e
são linearmente independentes em
. Mostre, também, que
é zero em
. O que você pode concluir sobre a possibilidade de
e
serem soluções de uma equação diferencial da forma
? Verifique que
e
são soluções da equação
. Isso contradiz sua conclusão? O comportamento do wronskiano de
e
contradiz o Teorema de Abel?
Um indutor de 0,5 henrios é conectado em série com uma resistência de
, um capacitor de
, um gerador com uma tensão alternada dada por
, e uma chave
. (a) Estabelecer uma equação diferencial para a carga instantânea no capacitor. (b) Encontre a carga e a corrente no tempo
se a carga no capacitor é zero quando a chave
é fechada em
.
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Mostre que a solução de
,
e
, é