Sejam y1(x), y2(x), y3(x) e lambda(x) funções diferenciáveis no intervalo J subset R. Mostrar que para todo x in J,
& (i) W[y1, y2+y3](x)=W[y1, y2](x)+W[y1, y3](x) & (ii) W[lambda y1, lambda y2](x)=lambda^2(x) W[y1, y2](x) & (iii) W[y1, lambda y1](x)=lambda^prime(x) y1^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar três propriedades do Wronskiano, que é uma ferramenta usada em Equações Diferenciais para verificar a independência linear de funções. As funções dadas são e , todas diferenciáveis em um intervalo . Vamos precisar entender como calcular o Wronskiano e aplicar algumas regras de álgebra. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

(i) Mostrar que W[f, g](x) = f(x)g'(x) - f'(x)g(x)
Primeiro, lembremos que o Wronskiano de duas funções W[y1, y2+y3](x) = y1(x)(y2+y3)'(x) - y1'(x)(y2+y3)(x) e = y1(x)(y2'(x) + y3'(x)) - y1'(x)(y2(x) + y3(x)) é dado por:
= y1(x)y2'(x) + y1(x)y3'(x) - y1'(x)y2(x) - y1'(x)y3(x)
Agora, vamos calcular = ( y1(x)y2'(x) - y1'(x)y2(x) ) + ( y1(x)y3'(x) - y1'(x)y3(x) ) :
= W[y1, y2](x) + W[y1, y3](x)
Expandindo as derivadas:
Distribuindo os termos:
Agora, vamos separar isso em dois Wronskianos:
Que é exatamente:

Passo 3

(ii) Mostrar que W[lambda y1, lambda y2](x) = (lambda y1)(lambda y2)'(x) - (lambda y1)'(x)(lambda y2)
Vamos calcular o Wronskiano das funções = lambda y1 ( lambda' y2 + lambda y2' ) - ( lambda' y1 + lambda y1' ) lambda y2 e = lambda^2 y1 y2' + lambda lambda' y1 y2 - lambda' lambda y1 y2 - lambda^2 y1' y2 :
= lambda^2 y1 y2' - lambda^2 y1' y2 = lambda^2 (y1 y2' - y1' y2) ) = lambda^2 W[y1, y2](x)
Calculando as derivadas:
Distribuindo os termos:
Observamos que os termos se cancelam:

Passo 4

(iii) Mostrar que W[y1, lambda y1](x) = y1 (lambda y1)'(x) - y1' (lambda y1)(x)
Vamos calcular o Wronskiano das funções = y1 (lambda' y1 + lambda y1') - y1' lambda y1 e = lambda' y1^2 + lambda y1 y1' - lambda y1' y1 :
= lambda' y1^2
Calculando as derivadas:
Distribuindo os termos:
Os termos se cancelam:

Resposta

Assim, mostramos que:
& (i) W[y1, y2+y3](x) = W[y1, y2](x) + W[y1, y3](x) & (ii) W[lambda y1, lambda y2](x) = lambda^2(x) W[y1, y2](x) & (iii) W[y1, lambda y1](x) = lambda^prime(x) y1^2(x)

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