Sejam e funções diferenciáveis no intervalo . Mostrar que para todo ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar três propriedades do Wronskiano, que é uma ferramenta usada em Equações Diferenciais para verificar a independência linear de funções. As funções dadas são e , todas diferenciáveis em um intervalo . Vamos precisar entender como calcular o Wronskiano e aplicar algumas regras de álgebra. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

(i) Mostrar que
Primeiro, lembremos que o Wronskiano de duas funções e é dado por:
Agora, vamos calcular :
Expandindo as derivadas:
Distribuindo os termos:
Agora, vamos separar isso em dois Wronskianos:
Que é exatamente:

Passo 3

(ii) Mostrar que
Vamos calcular o Wronskiano das funções e :
Calculando as derivadas:
Distribuindo os termos:
Observamos que os termos se cancelam:

Passo 4

(iii) Mostrar que
Vamos calcular o Wronskiano das funções e :
Calculando as derivadas:
Distribuindo os termos:
Os termos se cancelam:

Resposta

Assim, mostramos que:

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Mostre que e são linearmente independentes em . Mostre, também, que é zero em . O que você pode concluir sobre a possibilidade de e serem soluções de uma equação diferencial da forma ? Verifique que e são soluções da equação . Isso contradiz sua conclusão? O comportamento do wronskiano de e contradiz o Teorema de Abel?
Um indutor de 0,5 henrios é conectado em série com uma resistência de , um capacitor de , um gerador com uma tensão alternada dada por , e uma chave . (a) Estabelecer uma equação diferencial para a carga instantânea no capacitor. (b) Encontre a carga e a corrente no tempo se a carga no capacitor é zero quando a chave é fechada em .
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Mostre que a solução de , e , é