Com estas informações determine a equação da reta normal à curva dada. no ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta normal à curva no ponto . Isso envolve um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. A partir daí, vamos descobrir a inclinação da reta normal e montar a equação dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra de potencia para derivar:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que, se duas retas são perpendiculares, o produto das suas inclinações é . Então, para encontrar a inclinação da reta normal ( ), fazemos:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta normal ( ) e sabemos que ela passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo , e :

Passo 6

Vamos simplificar a equação para ficar mais apresentável:
Somando 2 (ou ) em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta normal à curva no ponto é:

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Nos exercícios 37 a 48 , esboce o gráfico de a partir do gráfico de funções elementares e utilizando transformações de funções.
Nos exercícios 37 a 48 , esboce o gráfico de a partir do gráfico de funções elementares e utilizando transformações de funções.
Derive utilizando as regras de derivação.
Use a Regra da Cadeia para determinar a derivada das funçōes dada