Com estas informações determine a equação da reta normal à curva dada. no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta normal à curva no ponto . Isso envolve um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. A partir daí, vamos descobrir a inclinação da reta normal e montar a equação dessa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra de potencia para derivar:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 4
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que, se duas retas são perpendiculares, o produto das suas inclinações é . Então, para encontrar a inclinação da reta normal (), fazemos:
Resolvendo para :
Passo 5
Agora que temos a inclinação da reta normal () e sabemos que ela passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo , e :
Passo 6
Vamos simplificar a equação para ficar mais apresentável: