Com estas informações determine a equação da reta normal à curva dada. no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta normal à curva no ponto . A matéria envolvida é cálculo, especificamente derivadas, porque vamos precisar saber a inclinação da curva nesse ponto para achar a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta normal. A reta normal é a reta que é perpendicular à reta tangente da curva em um ponto específico. Para encontrar essa reta, precisamos descobrir a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 3

Para achar a inclinação da reta tangente, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto .
A função pode ser reescrita como .

Passo 4

Aplicando a regra da potência para derivadas, onde a derivada de é , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que, se duas retas são perpendiculares, as inclinações delas são negativas recíprocas. Então, a inclinação da reta normal será:

Passo 7

Agora que temos a inclinação da reta normal ( ) e um ponto por onde ela passa ( ), podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo , e :

Passo 8

Vamos simplificar essa equação para a forma :

Resposta

A equação da reta normal à curva no ponto é .

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Ache para as funções abaixo.