Na inspeção de uma amostra de carne destinada ao consumo humano, foi detectado a presença de certos organismos indesejáveis. Para tornar a carne segura para o consumo, solicita-se que ela seja mantida a uma temperatura mínima de 121^circ C, por um período mínimo de 20 min durante a preparação. Suponha que uma placa da carne, com 2,5 cm de espessura, esteja originalmente à temperatura de 27^circ C e deva ser aquecida em ambos os lados em um forno com temperatura constante, e que a temperatura máxima suportada pela carne seja 154^circ C. Além disso, suponha que o coeficiente de transferência de calor na superfície seja constante e de 10 W / m^2 K. Os dados a seguir podem ser pressupostos para amostra de carne: calor específico =4184 J / Kg K; densidade =1280 Kg / m^3; condutividade térmica =0,48 W / m K. Calcule a temperatura do forno e o tempo mínimo total de aquecimento para atender à norma de segurança.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos uma amostra de carne com 2,5 cm de espessura originalmente a 27°C. Precisamos aquecer essa carne em um forno para que ela atinja pelo menos 121°C e mantenha essa temperatura por no mínimo 20 minutos, garantindo que fique segura para o consumo. O forno não pode ser mais quente que 154°C, que é a temperatura máxima que a carne suporta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente a condução de calor em sólidos. Vamos precisar das propriedades térmicas da carne que foram fornecidas: calor específico, densidade e condutividade térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a difusividade térmica da carne, que é uma medida de quão rapidamente o calor se propaga através do material. A difusividade térmica ( alpha = krho cdot c ) é dada por:
alpha = 0,481280 times 4184 approx 8,98 times 10^-5, m^2/s
Onde:
  • (condutividade térmica)
  • (densidade)
  • (calor específico)
Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de condução de calor transiente para um slab (placa) com espessura Tc - TinicialTforno - Tinicial = 1 - sumn=1^infty 4(2n-1)pi exp(-(2n-1)^2 pi^2 alpha t4 L^2) aquecido dos dois lados. A solução aproximada para a temperatura no centro da placa ( Tc - TinicialTforno - Tinicial approx 1 - 4pi exp(-pi^2 alpha t4 L^2) ) após um tempo Tforno = Tc - Tinicial1 - 4pi exp(-pi^2 alpha t4 L^2) + Tinicial é:
Tforno = 121 - 271 - 4pi exp(-pi^2 times 8,98 times 10^-5 times 12004 times (0,0125)^2) + 27
Para simplificar, vamos considerar apenas o primeiro termo da série ( pi^2 times 8,98 times 10^-5 times 12004 times (0,0125)^2 approx 9,8696 times 8,98 times 10^-5 times 12004 times 0,00015625 approx 1,061 times 10^-16,25 times 10^-5 approx 1700 ):
Tforno approx 941 - 4pi e^-1700 + 27 approx 941 - 0 + 27 = 94 + 27 = 121,^circC
Rearranjando para encontrar :
Sabemos que:
Vamos substituir os valores:
Calculando o expoente:
Portanto:
Isso nos mostra que, para atingir 121°C no centro em 20 minutos, a temperatura do forno precisa ser igual a 121°C. Contudo, precisamos garantir que a carne não exceda 154°C.

Passo 4

Como o forno está exatamente na temperatura mínima necessária (121°C), para atender à norma de segurança de manter a carne a pelo menos 121°C por 20 minutos sem exceder 154°C, o forno pode operar a 121°C, mantendo o tempo de aquecimento de 20 minutos. Assim, a temperatura do forno está dentro dos limites seguros.

Resposta

A temperatura do forno deve ser de 121°C e o tempo mínimo total de aquecimento necessário é de 20 minutos para atender à norma de segurança.

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