Um novo processo para o tratamento de um material especial deve ser avaliado. O material, uma esfera com raio r 0=5 mm, encontra-se inicialmente em equilíbrio a 400^circ C no interior de um forno. O material é repentinamente removido do forno e submetido a um processo de resfriamento em duas etapas.
Etapa 1: Resfriamento no ar a 20^circ C por um período de tempo ta até que a temperatura do centro atinja um valor crítico Ta(0, ta)=335^circ C. Para essa situação, o coeficiente de transferência de calor por convecção é ha =10 W /(m^2 K)
Após a esfera ter atingido essa temperatura crítica, a segunda etapa é iniciada.
Etapa 2: Resfriamento em um banho agitado de água a 20^circ C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de hb=6000 W /(m^2 K)
As propriedades termofísicas do material são rho=3000 kg / m^3, k=20 W /(m K), c =1000 J /( Kg.K) e alpha=6,66 cdot 10^-6 m^2 / s.
a) Calcule o tempo ta requerido para a etapa 1 do processo de resfriamento se completar.
b) Calcule o tempo Tb requerido na etapa 2 do processo, para o centro da esfera se resfriar de 335^circ C para 50^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o resfriamento de uma esfera. A gente vai focar em condução de calor e transferência de calor por convecção. Precisaremos usar as propriedades do material dado e aplicar as equações de transferência de calor para calcular os tempos de resfriamento nas duas etapas. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a) Queremos descobrir quanto tempo (ta) leva para a temperatura no centro da esfera cair de Bi = h cdot Lck para Lc = 5 times 10^-3 , m1 = 5 times 10^-3 , m durante o resfriamento no ar.
Primeiro, vamos verificar se podemos usar o modelo de capacidade térmica concentrada (ou modelo lumped). Para isso, precisamos calcular o número de Biot ( Bi = 10 times 5 times 10^-320 = 0.0520 = 0.0025 ):
Onde:
  • (coeficiente de convecção)
  • (comprimento característico, que para uma esfera é o raio)
Calculando :
Agora, calculando :
Como , podemos usar o modelo de capacidade térmica concentrada.

Passo 3

Com o modelo de capacidade térmica concentrada, a equação para o resfriamento é:
T(t) - TinftyT0 - Tinfty = e^-hArho V c t
Onde:
  • t = -rho V ch A ln(T(t) - TinftyT0 - Tinfty) (temperatura final)
  • (temperatura inicial)
  • (temperatura ambiente)
  • (área da esfera)
  • (volume da esfera)
Vamos reorganizar a equação para encontrar :

Passo 4

Calculando os valores necessários:
Primeiro, a área A = 4pi (5 times 10^-3)^2 = 4pi times 25 times 10^-6 = 100pi times 10^-6 , m^2 = 1 times 10^-3 pi , m^2 :
V = 43pi (5 times 10^-3)^3 = 43pi times 125 times 10^-9 = 5003pi times 10^-9 , m^3 approx 523.6 times 10^-9 , m^3
Segundo, o volume :

Passo 5

Agora, substituindo na equação do tempo t = -3000 times 523.6 times 10^-9 times 100010 times 1 times 10^-3 pi ln(335 - 20400 - 20) :
t = -3000 times 523.6 times 10^-610 pi ln(315380)
Simplificando:
ln(315380) approx ln(0.8289) approx -0.187
Calculando o logaritmo:
t = -3000 times 523.6 times 10^-610 pi times (-0.187)
Substituindo:
t = 3000 times 523.6 times 10^-6 times 0.18710 pi
t approx 3000 times 523.6 times 0.187 times 10^-631.416
t approx 3000 times 523.6 times 0.18731.416 times 10^-6
t approx 293,79631.416 times 10^-6 approx 9356 times 10^-6 , s approx 0.009356 , s

Resposta

a) O tempo requerido para a etapa 1 do processo de resfriamento é aproximadamente 0,0094 segundos.

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