Um novo processo para o tratamento de um material especial deve ser avaliado. O material, uma esfera com raio
, encontra-se inicialmente em equilíbrio a
no interior de um forno. O material é repentinamente removido do forno e submetido a um processo de resfriamento em duas etapas.
Etapa 1: Resfriamento no ar a
por um período de tempo ta até que a temperatura do centro atinja um valor crítico
. Para essa situação, o coeficiente de transferência de calor por convecção é ha
Após a esfera ter atingido essa temperatura crítica, a segunda etapa é iniciada.
Etapa 2: Resfriamento em um banho agitado de água a
, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de
As propriedades termofísicas do material são
, c
Kg.K) e
.
a) Calcule o tempo ta requerido para a etapa 1 do processo de resfriamento se completar.
b) Calcule o tempo Tb requerido na etapa 2 do processo, para o centro da esfera se resfriar de
para
.
Etapa 1: Resfriamento no ar a
Após a esfera ter atingido essa temperatura crítica, a segunda etapa é iniciada.
Etapa 2: Resfriamento em um banho agitado de água a
As propriedades termofísicas do material são
a) Calcule o tempo ta requerido para a etapa 1 do processo de resfriamento se completar.
b) Calcule o tempo Tb requerido na etapa 2 do processo, para o centro da esfera se resfriar de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o resfriamento de uma esfera. A gente vai focar em condução de calor e transferência de calor por convecção. Precisaremos usar as propriedades do material dado e aplicar as equações de transferência de calor para calcular os tempos de resfriamento nas duas etapas. Vamos por partes!
Passo 2
Parte a) Queremos descobrir quanto tempo (ta) leva para a temperatura no centro da esfera cair de
para
durante o resfriamento no ar.
Primeiro, vamos verificar se podemos usar o modelo de capacidade térmica concentrada (ou modelo lumped). Para isso, precisamos calcular o número de Biot (
):
Onde:
-
(coeficiente de convecção) -
(comprimento característico, que para uma esfera é o raio) -
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, podemos usar o modelo de capacidade térmica concentrada.
Passo 3
Com o modelo de capacidade térmica concentrada, a equação para o resfriamento é:
Onde:
-
(temperatura final) -
(temperatura inicial) -
(temperatura ambiente) -
-
(área da esfera) -
-
(volume da esfera) -
Vamos reorganizar a equação para encontrar
:
Passo 4
Calculando os valores necessários:
Primeiro, a área
:
Segundo, o volume
:
Passo 5
Agora, substituindo na equação do tempo
:
Simplificando:
Calculando o logaritmo:
Substituindo:
Resposta
a) O tempo
requerido para a etapa 1 do processo de resfriamento é aproximadamente 0,0094 segundos.