No instante t = 0, dois móveis A e B estão posicionados a 500 m um do outro e na mesma trajetória. O móvel A se move em MRU com velocidade 20 m / s, enquanto o móvel B tem velocidade inicial de 40 m / s e com sentido contrário do movimento de A, se aproximando deste, mas freando uniformemente a 2 m / s^2. Determine:
b) a distância que cada um percorreu até esse encontro

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá nos dizendo. A gente tem dois móveis, A e B, que estão a 500 metros de distância um do outro na mesma trajetória. O móvel A está se movendo com velocidade constante de , ou seja, está fazendo um Movimento Retilíneo Uniforme (MRU). Já o móvel B começa com uma velocidade inicial de , mas está freando de maneira uniforme com uma aceleração de , o que caracteriza um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Precisamos descobrir a distância que cada um percorreu até se encontrarem.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o tempo que leva para os dois móveis se encontrarem. Vamos chamar esse tempo de dA = vA times t = 20 , t segundos. Para o móvel A, que está em MRU, a distância percorrida é simplesmente a velocidade multiplicada pelo tempo:

Passo 3

Agora, para o móvel B, que está em MRUV, a distância percorrida é um pouco mais complicada porque ele está freando. A fórmula para a distância em MRUV é:
dB = vB0 times t + 12 a t^2
Aqui, dB = 40 , t + 12 (-2) t^2 = 40 , t - t^2 é a velocidade inicial e é a aceleração. No nosso caso, (o sinal negativo indica que está freando):

Passo 4

Como os dois móveis estão se movendo um em direção ao outro, a soma das distâncias que eles percorrem deve ser igual à distância inicial entre eles, que é 500 metros. Então, temos a equação:
dA + dB = 500
Substituindo as expressões das distâncias:
20 , t + (40 , t - t^2) = 500
Simplificando:
60 , t - t^2 = 500

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
t^2 - 60 , t + 500 = 0
Agora, vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
t = 60 pm raiz60^2 - 4 times 1 times 5002
Calculando o discriminante:
raiz3600 - 2000 = raiz1600 = 40
Então:
t = 60 pm 402
Isso nos dá duas soluções:
t = 1002 = 50 , segundos
t = 202 = 10 , segundos

Passo 6

Vamos verificar qual das soluções faz sentido no contexto. Se vB = vB0 + a times t = 40 - 2 times 50 = -60 , m/s segundos:
Isso indicaria que o móvel B mudou de direção, o que não faz sentido nesse contexto. Portanto, a solução válida é segundos.

Passo 7

Agora, vamos calcular as distâncias percorridas por cada móvel em 10 segundos.
Para o móvel A:
dA = 20 times 10 = 200 , metros
Para o móvel B:
dB = 40 times 10 - (10)^2 = 400 - 100 = 300 , metros

Resposta

O móvel A percorreu 200 metros e o móvel B percorreu 300 metros até se encontrarem.

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