Seja um vetor unitário fixo arbitrário. Mostre que qualquer vetor satisfaz
Explique esse resultado em palavras, com o auxílio de uma figura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, para qualquer vetor e um vetor unitário fixo , vale a igualdade
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar ( ) e produto vetorial ( ), além de entender um pouco sobre projeções de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem magnitude igual a 1, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos analisar o produto escalar . Esse produto representa a projeção de na direção de . Matemáticamente, é dado por:
Como , simplifica para:

Passo 4

O produto vetorial representa um vetor que é perpendicular tanto a quanto a , com magnitude:
Novamente, como , fica:

Passo 5

Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados das expressões que encontramos:

Passo 6

Somando essas duas equações:

Passo 7

Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, demonstramos que para qualquer vetor ,
Isso significa que o quadrado da magnitude de é igual à soma do quadrado da sua projeção na direção de e do quadrado da sua componente perpendicular a . Imagine sendo decomposto em duas partes: uma alinhada com e outra formando um ângulo reto com . A figura seria como um triângulo retângulo onde os catetos são essas componentes e a hipotenusa é o próprio vetor .

Exercícios relacionados

Seja o vetor . Determine:
e) o módulo do vetor
No instante t = 0, dois móveis A e B estão posicionados a 500 m um do outro e na mesma trajetória. O móvel A se move em MRU com velocidade , enquanto o móvel B tem velocidade inicial de e com sentido contrário do movimento de A, se aproximando deste, mas freando uniformemente a . Determine:
b) a distância que cada um percorreu até esse encontro
No instante t = 0, dois móveis A e B estão posicionados a 500 m um do outro e na mesma trajetória. O móvel A se move em MRU com velocidade , enquanto o móvel B tem velocidade inicial de e com sentido contrário do movimento de A, se aproximando deste, mas freando uniformemente a . Determine:
c) as velocidades, em módulo, que cada um apresentam no instante de encontro
O vetor desconhecido satisfaz e , onde , e c são fixos e conhecidos. Determine em termos de e .