Seja um vetor unitário fixo arbitrário. Mostre que qualquer vetor
satisfaz
Explique esse resultado em palavras, com o auxílio de uma figura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, para qualquer vetor
e um vetor unitário fixo
, vale a igualdade
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar (
) e produto vetorial (
), além de entender um pouco sobre projeções de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário
é aquele que tem magnitude igual a 1, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o produto escalar
. Esse produto representa a projeção de
na direção de
. Matemáticamente, é dado por:
Como
, simplifica para:
Passo 4
O produto vetorial
representa um vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
, com magnitude:
Novamente, como
, fica:
Passo 5
Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados das expressões que encontramos:
Passo 6
Somando essas duas equações:
Passo 7
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, demonstramos que para qualquer vetor
,
Isso significa que o quadrado da magnitude de
é igual à soma do quadrado da sua projeção na direção de
e do quadrado da sua componente perpendicular a
. Imagine
sendo decomposto em duas partes: uma alinhada com
e outra formando um ângulo reto com
. A figura seria como um triângulo retângulo onde os catetos são essas componentes e a hipotenusa é o próprio vetor
.
Exercícios relacionados
Seja o vetor
. Determine:
e) o módulo do vetor
e) o módulo do vetor
No instante t = 0, dois móveis A e B estão posicionados a 500 m um do outro e na mesma trajetória. O móvel A se move em MRU com velocidade
, enquanto o móvel B tem velocidade inicial de
e com sentido contrário do movimento de A, se aproximando deste, mas freando uniformemente a
. Determine:
b) a distância que cada um percorreu até esse encontro
b) a distância que cada um percorreu até esse encontro
No instante t = 0, dois móveis A e B estão posicionados a 500 m um do outro e na mesma trajetória. O móvel A se move em MRU com velocidade
, enquanto o móvel B tem velocidade inicial de
e com sentido contrário do movimento de A, se aproximando deste, mas freando uniformemente a
. Determine:
c) as velocidades, em módulo, que cada um apresentam no instante de encontro
c) as velocidades, em módulo, que cada um apresentam no instante de encontro
O vetor desconhecido
satisfaz
e
, onde
,
e c são fixos e conhecidos. Determine
em termos de
e
.