Seja um vetor unitário fixo arbitrário. Mostre que qualquer vetor b satisfaz
b^2=(u cdot b)^2+(u times b)^2
Explique esse resultado em palavras, com o auxílio de uma figura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, para qualquer vetor b^2 = (u cdot b)^2 + (u times b)^2 e um vetor unitário fixo , vale a igualdade
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar ( ) e produto vetorial ( ), além de entender um pouco sobre projeções de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem magnitude igual a 1, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos analisar o produto escalar u cdot b = |u| cdot |b| cdot cos(theta) . Esse produto representa a projeção de u cdot b = |b| cdot cos(theta) na direção de . Matemáticamente, é dado por:
Como , simplifica para:

Passo 4

O produto vetorial |u times b| = |u| cdot |b| cdot sin(theta) representa um vetor que é perpendicular tanto a |u times b| = |b| cdot sin(theta) quanto a , com magnitude:
Novamente, como , fica:

Passo 5

Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados das expressões que encontramos:
(u cdot b)^2 = |b|^2 cos^2(theta)
(u times b)^2 = |b|^2 sin^2(theta)

Passo 6

Somando essas duas equações:
(u cdot b)^2 + (u times b)^2 = |b|^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta))

Passo 7

Sabemos que (u cdot b)^2 + (u times b)^2 = |b|^2 , então:

Resposta

Portanto, demonstramos que para qualquer vetor b^2 = (u cdot b)^2 + (u times b)^2 ,
Isso significa que o quadrado da magnitude de é igual à soma do quadrado da sua projeção na direção de e do quadrado da sua componente perpendicular a . Imagine sendo decomposto em duas partes: uma alinhada com e outra formando um ângulo reto com . A figura seria como um triângulo retângulo onde os catetos são essas componentes e a hipotenusa é o próprio vetor .

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