No instante t = 0, dois móveis A e B estão posicionados a 500 m um do outro e na mesma trajetória. O móvel A se move em MRU com velocidade 20 m / s, enquanto o móvel B tem velocidade inicial de 40 m / s e com sentido contrário do movimento de A, se aproximando deste, mas freando uniformemente a 2 m / s^2. Determine:
c) as velocidades, em módulo, que cada um apresentam no instante de encontro

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois móveis, A e B, que estão a 500 metros de distância um do outro na mesma trajetória. O móvel A está se movendo com Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) a uma velocidade de . O móvel B, por sua vez, começa com uma velocidade inicial de em direção ao A, mas está desacelerando uniformemente a . A gente precisa determinar as velocidades de cada móvel no instante em que eles se encontram.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento para MRU e para o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), já que o móvel B está desacelerando.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições dos móveis A e B ao longo do tempo.
  • Móvel A (MRU): Como está em MRU, sua posição em qualquer instante xA(t) = xA0 + vA cdot t é dada por:
    xA(t) = 20t
    Onde:
    • xB(t) = xB0 + vB0 cdot t - 12 a t^2 (considerando a posição inicial de A como referência)
    • xB(t) = 500 - 40t + t^2
    Então:
  • Móvel B (MRUV): Para o móvel B, que está desacelerando, a posição é dada por:
    Onde:
    • (aceleração negativa porque está desacelerando)
    Então:

Passo 3

No instante em que os dois móveis se encontram, suas posições serão iguais:
xA(t) = xB(t)
Substituindo as equações que encontramos:
20t = 500 - 40t + t^2
Vamos reorganizar essa equação para resolver para t^2 - 60t + 500 = 0 :

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática no formato:
t^2 - 60t + 500 = 0
Para encontrar o valor de t = -b pm raizb^2 - 4ac2a , vamos usar a fórmula de Bhaskara:
De
Onde, comparando com t = 60 pm raiz16002 = 60 pm 402 :
  • t1 = 60 + 402 = 50 , s
  • t2 = 60 - 402 = 10 , s
Calculando o discriminante ( ):
Como é positivo, temos duas soluções:
Então:
Desconsideramos porque o encontro ocorre antes desse instante, então .

Passo 5

Agora que sabemos que os móveis se encontram aos vA = 20 , m/s , vamos calcular as velocidades de cada um nesse instante.
  • Velocidade do móvel A (MRU):
    Como é MRU, a velocidade permanece constante:
    vB(t) = vB0 - a cdot t
  • Velocidade do móvel B (MRUV):
    A velocidade em um instante vB(10) = 40 - 2 cdot 10 = 40 - 20 = 20 , m/s para MRUV é dada por:
    Substituindo os valores:

Resposta

No instante em que os móveis A e B se encontram, ambos apresentam velocidades de .

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