O vetor desconhecido satisfaz e , onde , e c são fixos e conhecidos. Determine em termos de e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor desconhecido que satisfaz duas condições: o produto escalar com o vetor conhecido é igual a ( ) e o produto vetorial com é igual a ( ). Nosso objetivo é encontrar em termos de , e . Para isso, vamos usar propriedades de produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Vamos escrever o vetor como a soma de duas partes: uma que é paralela a e outra que é perpendicular a . Isso fica assim:
Onde é a componente de na direção de , e é a componente perpendicular a .

Passo 3

A componente paralela pode ser encontrada usando o produto escalar. Sabemos que:
Isso porque o produto escalar nos dá a magnitude da componente paralela.

Passo 4

Agora, vamos determinar a componente perpendicular . Sabemos que:
Já que porque são vetores paralelos.

Passo 5

Para encontrar , usamos a propriedade do produto vetorial. Podemos isolar da seguinte forma:
Isso porque multiplicando ambos os lados por e rearranjando, conseguimos isolar a componente perpendicular.

Passo 6

Finalmente, juntamos as duas componentes para obter o vetor completo:

Resposta

Portanto, o vetor desconhecido é dado por:

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