O vetor desconhecido v satisfaz b cdot v=lambda e b times v=c, onde lambda, b e c são fixos e conhecidos. Determine v em termos de lambda, b e c.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor desconhecido v que satisfaz duas condições: o produto escalar com o vetor conhecido b é igual a lambda ( b cdot v = lambda) e o produto vetorial com b é igual a c ( b times v = c). Nosso objetivo é encontrar v em termos de lambda, b e c. Para isso, vamos usar propriedades de produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Vamos escrever o vetor v como a soma de duas partes: uma que é paralela a b e outra que é perpendicular a b. Isso fica assim:
v = vparal<=l + vperp
Onde vparal<=l é a componente de v na direção de b, e vperp é a componente perpendicular a b.

Passo 3

A componente paralela vparal<=l pode ser encontrada usando o produto escalar. Sabemos que:
vparal<=l = ( b cdot vb cdot b ) b = ( lambdab cdot b ) b
Isso porque o produto escalar b cdot v nos dá a magnitude da componente paralela.

Passo 4

Agora, vamos determinar a componente perpendicular vperp. Sabemos que:
b times v = b times (vparal<=l + vperp) = b times vperp = c
Já que b times vparal<=l = 0 porque são vetores paralelos.

Passo 5

Para encontrar vperp, usamos a propriedade do produto vetorial. Podemos isolar vperp da seguinte forma:
vperp = b times cb cdot b
Isso porque multiplicando ambos os lados por b e rearranjando, conseguimos isolar a componente perpendicular.

Passo 6

Finalmente, juntamos as duas componentes para obter o vetor v completo:
v = vparal<=l + vperp = ( lambdab cdot b ) b + b times cb cdot b

Resposta

Portanto, o vetor desconhecido v é dado por:
v = lambdab cdot b, b + b times cb cdot b

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