O vetor desconhecido
satisfaz
e
, onde
,
e c são fixos e conhecidos. Determine
em termos de
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor desconhecido
que satisfaz duas condições: o produto escalar com o vetor conhecido
é igual a
(
) e o produto vetorial com
é igual a
(
). Nosso objetivo é encontrar
em termos de
,
e
. Para isso, vamos usar propriedades de produtos vetoriais e escalares.
Passo 2
Vamos escrever o vetor
como a soma de duas partes: uma que é paralela a
e outra que é perpendicular a
. Isso fica assim:
Onde
é a componente de
na direção de
, e
é a componente perpendicular a
.
Passo 3
A componente paralela
pode ser encontrada usando o produto escalar. Sabemos que:
Isso porque o produto escalar
nos dá a magnitude da componente paralela.
Passo 4
Agora, vamos determinar a componente perpendicular
. Sabemos que:
Já que
porque são vetores paralelos.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a propriedade do produto vetorial. Podemos isolar
da seguinte forma:
Isso porque multiplicando ambos os lados por
e rearranjando, conseguimos isolar a componente perpendicular.
Passo 6
Finalmente, juntamos as duas componentes para obter o vetor
completo:
Resposta
Portanto, o vetor desconhecido
é dado por: