Para quais valores de q os dois vetores A=imath+jmath+k q e B=imath q-2 jmath+2 k q são perpendiculares entre si.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os valores de onde os vetores e são perpendiculares. A gente vai trabalhar com álgebra vetorial, mais especificamente usando o produto escalar dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3 e é calculado assim:

Passo 3

Vamos identificar os componentes dos vetores A = 1imath + 1jmath + qk Rightarrow a1 = 1, a2 = 1, a3 = q e B = qimath - 2jmath + 2qk Rightarrow b1 = q, b2 = -2, b3 = 2q :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar usando esses componentes:
A cdot B = (1)(q) + (1)(-2) + (q)(2q) = q - 2 + 2q^2

Passo 5

Para que os vetores sejam perpendiculares, esse produto escalar deve ser zero. Então, temos a equação:
2q^2 + q - 2 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver q = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
onde , , e .

Passo 7

Calculando o discriminante ( De):
Como , temos duas soluções reais.

Passo 8

Agora, substituindo na fórmula:
q = -1 pm raiz174
Portanto, os valores de q = -1 + raiz174 e q = -1 - raiz174 que tornam os vetores perpendiculares são:

Resposta

Os valores de são e .

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