No instante em que um foguete atinge o ponto mais alto da trajetória explode e lança verticalmente, em sentidos opostos, duas partículas com velocidades iniciais numericamente iguais a . (a) Sendo a aceleração da gravidade, determine o intervalo de tempo decorrido entre os instantes e em que as duas partículas chegam ao solo. Despreze o atrito com o ar. (b) Esboce num mesmo gráfico as posições em função do tempo para as duas partículas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um foguete que, no ponto mais alto da sua trajetória, explode e lança duas partículas em direções opostas com velocidade inicial de . Queremos descobrir quanto tempo passa entre os momentos em que essas duas partículas chegam de volta ao chão. Para isso, vamos usar os conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Vamos precisar lidar com movimentos verticais, considerar a aceleração da gravidade , e usar as fórmulas de posição e tempo de queda livre.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com cada partícula após a explosão:
  • Partícula 1: Lançada para cima com velocidade inicial .
  • Partícula 2: Lançada para baixo com a mesma velocidade inicial .
Ambas vão subir ou descer influenciadas pela gravidade até chegarem ao solo.

Passo 3

Vamos analisar o movimento vertical de cada partícula separadamente usando a fórmula da posição em função do tempo:
Como o foguete está no ponto mais alto, podemos considerar para simplificar. Assim, a equação fica:
Essa é a posição em relação ao solo no tempo .

Passo 4

Para a Partícula 1 (lançada para cima):
A velocidade inicial é positiva ( ).
A partícula sobe até a velocidade zerar, depois começa a cair. O tempo total até ela voltar ao chão pode ser encontrado resolvendo :
As soluções são (início) e . Então, a Partícula 1 leva 3 segundos para chegar ao chão.

Passo 5

Para a Partícula 2 (lançada para baixo):
A velocidade inicial é negativa ( ).
Usamos a mesma equação:
As soluções são e . Como o tempo não pode ser negativo, significa que a Partícula 2 leva apenas o tempo necessário para alcançar o solo, que é direto. Mas aqui percebemos que há uma confusão porque lançar para baixo deveria resultar em um menor tempo.
Na verdade, a equação correta para a Partícula 2 é:
Para encontrar quando chega ao chão ( ):
Igualando a zero, ignoramos a solução e temos:
Aqui, o tempo negativo indica que a Partícula 2 já está no chão inicialmente, o que não faz sentido. Isso nos mostra que a Partícula 2, sendo lançada para baixo do ponto mais alto, atinge o chão instantaneamente, ou seja, praticamente 0 segundos de intervalo.

Passo 6

Agora, queremos o intervalo de tempo entre (quando a Partícula 2 chega ao chão) e (quando a Partícula 1 chega). Como a Partícula 2 chega praticamente no instante da explosão, e a Partícula 1 leva 3 segundos para chegar ao chão, o intervalo de tempo é de 3 segundos.

Resposta

O intervalo de tempo entre os instantes em que as duas partículas chegam ao solo é de 3 segundos.

Exercícios relacionados

Um elevador de massa está sendo puxado para cima com uma aceleração constante . (a) Calcule o módulo da tensão (em ) no cabo.
Em um lançamento parabólico oblíquo, uma bola é atirada com velocidade inicial de módulo formando um ângulo com a horizontal de . O alcance horizontal total é e a bola alcança uma altura máxima de . © Qual é o intervalo de tempo (em segundos) para todo o percurso? Use .
(Por favor, em todas as respostas, use três algarismos significativos).
Um projétil é lançado com um ângulo acima da horizontal. (a) Mostre que o ângulo de elevação do ponto mais alto , visto do local de lançamento, está relacionado com , o ângulo de elevação do lançamento, por . (b) Calcule para .
Um carro trafega ao longo de uma curva circular com raio de 200 m . Considerando que sua velocidade aumenta uniformemente de para em , determine o módulo de sua aceleração no instante em que sua velocidade é de . (Atribua símbolos para as variáveis e resolva o problema literalmente. Após a obtenção do resultado literal, substitua os dados e apresente o resultado numérico.)