No instante em que um foguete atinge o ponto mais alto da trajetória explode e lança verticalmente, em sentidos opostos, duas partículas com velocidades iniciais numericamente iguais a
. (a) Sendo
a aceleração da gravidade, determine o intervalo de tempo decorrido entre os instantes
e
em que as duas partículas chegam ao solo. Despreze o atrito com o ar. (b) Esboce num mesmo gráfico as posições em função do tempo para as duas partículas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um foguete que, no ponto mais alto da sua trajetória, explode e lança duas partículas em direções opostas com velocidade inicial de
. Queremos descobrir quanto tempo passa entre os momentos em que essas duas partículas chegam de volta ao chão. Para isso, vamos usar os conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Vamos precisar lidar com movimentos verticais, considerar a aceleração da gravidade
, e usar as fórmulas de posição e tempo de queda livre.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com cada partícula após a explosão:
- Partícula 1: Lançada para cima com velocidade inicial
. - Partícula 2: Lançada para baixo com a mesma velocidade inicial
.
Ambas vão subir ou descer influenciadas pela gravidade até chegarem ao solo.
Passo 3
Vamos analisar o movimento vertical de cada partícula separadamente usando a fórmula da posição em função do tempo:
Como o foguete está no ponto mais alto, podemos considerar
para simplificar. Assim, a equação fica:
Essa é a posição em relação ao solo no tempo
.
Passo 4
Para a Partícula 1 (lançada para cima):
A velocidade inicial é positiva (
).
A partícula sobe até a velocidade zerar, depois começa a cair. O tempo total até ela voltar ao chão pode ser encontrado resolvendo
:
As soluções são
(início) e
. Então, a Partícula 1 leva 3 segundos para chegar ao chão.
Passo 5
Para a Partícula 2 (lançada para baixo):
A velocidade inicial é negativa (
).
Usamos a mesma equação:
As soluções são
e
. Como o tempo não pode ser negativo, significa que a Partícula 2 leva apenas o tempo necessário para alcançar o solo, que é direto. Mas aqui percebemos que há uma confusão porque lançar para baixo deveria resultar em um menor tempo.
Na verdade, a equação correta para a Partícula 2 é:
Para encontrar quando chega ao chão (
):
Igualando a zero, ignoramos a solução
e temos:
Aqui, o tempo negativo indica que a Partícula 2 já está no chão inicialmente, o que não faz sentido. Isso nos mostra que a Partícula 2, sendo lançada para baixo do ponto mais alto, atinge o chão instantaneamente, ou seja, praticamente 0 segundos de intervalo.
Passo 6
Agora, queremos o intervalo de tempo entre
(quando a Partícula 2 chega ao chão) e
(quando a Partícula 1 chega). Como a Partícula 2 chega praticamente no instante da explosão, e a Partícula 1 leva 3 segundos para chegar ao chão, o intervalo de tempo é de 3 segundos.
Resposta
O intervalo de tempo entre os instantes em que as duas partículas chegam ao solo é de 3 segundos.