Um projétil é lançado com um ângulo theta0 acima da horizontal. (a) Mostre que o ângulo de elevação phi do ponto mais alto (ymax ), visto do local de lançamento, está relacionado com theta0, o ângulo de elevação do lançamento, por tan phi=(tan theta0) / 2. (b) Calcule phi para theta0=45^circ.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos um projétil lançado com um ângulo acima da horizontal. Queremos mostrar que o ângulo de elevação do ponto mais alto da trajetória, visto do local de lançamento, está relacionado com pela equação . Além disso, precisamos calcular quando .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de projéteis, especificamente analisando as componentes horizontal e vertical do movimento.

Passo 2

Primeiro, separamos o movimento do projétil nas direções horizontal e vertical. A componente horizontal da velocidade ( ) permanece constante, já que não há aceleração nessa direção (ignorando a resistência do ar). A componente vertical da velocidade ( ) é afetada pela aceleração da gravidade ( ).

Passo 3

No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical do projétil é zero ( vy = vy0 - g t ). Podemos usar a equação da velocidade vertical para encontrar o tempo ( 0 = vy0 - g t implies t = vy0g ) que o projétil leva para atingir esse ponto:
Como no ponto mais alto, temos:

Passo 4

A velocidade inicial nas direções horizontal e vertical são:
vx0 = v0 cos theta0
vy0 = v0 sin theta0
onde é a velocidade inicial do projétil.

Passo 5

A posição horizontal no ponto mais alto ( xmax = vx0 cdot t = v0 cos theta0 cdot v0 sin theta0g = v0^2 sin theta0 cos theta0g ) é:

Passo 6

A posição vertical no ponto mais alto ( ymax = vy0 cdot t - 12 g t^2 = v0 sin theta0 cdot v0 sin theta0g - 12 g ( v0 sin theta0g )^2 ) é:
ymax = v0^2 sin^2 theta02 g
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar o ângulo de elevação tan phi = ymaxxmax = v0^2 sin^2 theta02 gv0^2 sin theta0 cos theta0g = sin theta02 cos theta0 = tan theta02 , usamos a tangente desse ângulo, que é a razão entre e :

Passo 8

Agora, vamos calcular tan phi = 12 implies phi = arctan( 12 ) approx 26,57^circ quando . Sabendo que , substituímos na equação:

Resposta

Assim, quando , o ângulo de elevação é aproximadamente .

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