Um projétil é lançado com um ângulo
acima da horizontal. (a) Mostre que o ângulo de elevação
do ponto mais alto
, visto do local de lançamento, está relacionado com
, o ângulo de elevação do lançamento, por
. (b) Calcule
para
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos um projétil lançado com um ângulo
acima da horizontal. Queremos mostrar que o ângulo de elevação
do ponto mais alto da trajetória, visto do local de lançamento, está relacionado com
pela equação
. Além disso, precisamos calcular
quando
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de projéteis, especificamente analisando as componentes horizontal e vertical do movimento.
Passo 2
Primeiro, separamos o movimento do projétil nas direções horizontal e vertical. A componente horizontal da velocidade (
) permanece constante, já que não há aceleração nessa direção (ignorando a resistência do ar). A componente vertical da velocidade (
) é afetada pela aceleração da gravidade (
).
Passo 3
No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical do projétil é zero (
). Podemos usar a equação da velocidade vertical para encontrar o tempo (
) que o projétil leva para atingir esse ponto:
Como
no ponto mais alto, temos:
Passo 4
A velocidade inicial nas direções horizontal e vertical são:
onde
é a velocidade inicial do projétil.
Passo 5
A posição horizontal no ponto mais alto (
) é:
Passo 6
A posição vertical no ponto mais alto (
) é:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o ângulo de elevação
, usamos a tangente desse ângulo, que é a razão entre
e
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
quando
. Sabendo que
, substituímos na equação:
Resposta
Assim, quando
, o ângulo de elevação
é aproximadamente
.