No instante t=0, uma força F constante começa a atuar sobre uma pedra que se move no espaço sideral no sentido positivo do cixo x. (a) Para t>0, quais são as possíveis funções x(t) para a posição da pedra: (1) x=4 t-3, (2) x=-4 t^2+6 t-3, (3) x=4 t^2+ 6 t-3 ? (b) Para que função F tem o sentido contrário ao do movimento inicial da pedra?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma pedra no espaço sideral sendo puxada por uma força constante F no sentido positivo do eixo x. A gente precisa descobrir qual das funções dadas para a posição x(t) está de acordo com esse cenário, e depois ver qual delas tem a força agindo no sentido contrário ao movimento inicial. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento com aceleração constante, já que a força é constante. Vamos precisar entender como a posição, velocidade e aceleração estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma força constante atua sobre um objeto, ele sofre uma aceleração constante. A relação entre força, massa e aceleração é dada pela segunda lei de Newton:
F = m a
Como a força é constante, a aceleração a também será constante. A equação que descreve a posição de um objeto com aceleração constante é:
x(t) = x0 + v0 t + 12 a t^2
Onde:
  • x0 é a posição inicial
  • v0 é a velocidade inicial
  • a é a aceleração
  • t é o tempo

Passo 3

Vamos analisar cada uma das funções dadas para x(t) e ver se elas se encaixam nessa equação.
Opção 1: x = 4t - 3
Aqui, não tem termo quadrático ( t^2), o que significa que a aceleração a é zero. Isso implicaria que a força F também é zero, já que F = m a. Porém, o enunciado diz que uma força constante está atuando, então essa opção não se encaixa.
Opção 2: x = -4t^2 + 6t - 3
Comparando com a equação geral, podemos identificar:
  • x0 = -3
  • v0 = 6
  • 12 a = -4 Rightarrow a = -8
Aqui, temos uma aceleração constante negativa, o que está de acordo com uma força constante agindo sobre a pedra.
Opção 3: x = 4t^2 + 6t - 3
Novamente, comparando com a equação geral:
  • x0 = -3
  • v0 = 6
  • 12 a = 4 Rightarrow a = 8
Nesta opção, a aceleração é constante e positiva, também encaixando com a ideia de uma força constante atuando.

Passo 4

Agora, na parte (a), queremos saber quais dessas funções são possíveis para a posição da pedra quando uma força constante está agindo. Como vimos:
  • Opção 1: Força zero, então não é válida.
  • Opção 2: Aceleração constante negativa, válida.
  • Opção 3: Aceleração constante positiva, válida.
Então, as funções (2) e (3) são possíveis.

Passo 5

Já na parte (b), queremos saber para qual função a força F tem o sentido contrário ao movimento inicial da pedra. A pedra está inicialmente se movendo no sentido positivo do eixo x, ou seja, com velocidade v0 = 6 (positivo).
Para que a força esteja no sentido contrário, a aceleração a deve ser negativa. Vamos ver quais funções têm aceleração negativa:
  • Opção 2: a = -8 (negativa)
  • Opção 3: a = 8 (positiva)
Então, a função que atende a essa condição é a opção (2).

Resposta

(a) As funções possíveis são (2) x = -4t^2 + 6t - 3 e (3) x = 4t^2 + 6t - 3.
(b) A função que tem a força F no sentido contrário ao movimento inicial é a função (2) x = -4t^2 + 6t - 3.

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