No instante t=0, a corrente num circuito L R é nula e cresce até a metade do seu valor final em 4,0 s. (a) Qual a constante de tempo deste circuito?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um circuito L R onde a corrente começa nula e cresce até a metade do seu valor final em 4,0 segundos. O conteúdo que vamos usar aqui é Circuitos Elétricos, especificamente o comportamento de corrente em circuitos indutivos. Para resolver, vamos precisar entender a constante de tempo desse circuito, que nos diz quão rápido a corrente alcança seu valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a corrente em um circuito L R cresce ao longo do tempo. A fórmula para a corrente I(t) = Ifinal (1 - e^-ttau) em função do tempo é:
Onde:
  • é o valor final da corrente.
  • é a constante de tempo do circuito.
  • é o tempo.

Passo 3

Segundo o enunciado, no tempo Ifinal2 = Ifinal (1 - e^-4tau) , a corrente é metade do valor final . Então, podemos escrever:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 12 = 1 - e^-4tau :

Passo 5

Agora, isolamos o termo exponencial:
e^-4tau = 1 - 12 = 12

Passo 6

Para resolver para -4tau = ln(12) , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
-4tau = -ln(2)
Sabemos que , então:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por -1:
4tau = ln(2)

Passo 8

Finalmente, isolamos tau = 4ln(2) :
tau approx 40,6931 approx 5,77 , s
Calculando o valor numérico:

Resposta

A constante de tempo deste circuito é aproximadamente 5,77 segundos.

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