Usando a transformada da integral de f(t), obtenha a transformada de Laplace de f(t) = cos (8t) sabendo que a transformada de sen (8t) vale 8 s 2 + 64
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente quer encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \cos(8t) $. Para isso, vamos usar a transformada da integral de $ f(t) $ e a informação que a transformada de $ \sin(8t) $ é $ \frac{8}{s^2 + 64} $. A matéria que estamos trabalhando aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e integrar funções no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace: a transformada da integral de uma função $ f(t) $ é igual à transformada de $ f(t) $ dividida por $ s $. Em termos de fórmula, isso fica assim:
onde $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $.
Passo 3
Agora, vamos integrar a função $ f(t) = \cos(8t) $. A integral de $ \cos(8t) $ em relação a $ t $ é:
Como estamos lidando com transformadas de Laplace, podemos ignorar a constante de integração $ C $.
Passo 4
Aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 2, temos:
Mas sabemos que a integral de $ \cos(8t) $ é $ \frac{\sin(8t)}{8} $, então:
Passo 5
Sabemos pela questão que $ \mathcal{L}{\sin(8t)} = \frac{8}{s^2 + 64} $. Então, a transformada da integral que encontramos é:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ \mathcal{L}{\cos(8t)} $ multiplicando ambos os lados da equação por $ s $:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) = \cos(8t) $ é: