Usando a transformada da integral de f(t), obtenha a transformada de Laplace de f(t) = cos (8t) sabendo que a transformada de sen (8t) vale 8 s 2 + 64

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente quer encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \cos(8t) $. Para isso, vamos usar a transformada da integral de $ f(t) $ e a informação que a transformada de $ \sin(8t) $ é $ \frac{8}{s^2 + 64} $. A matéria que estamos trabalhando aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e integrar funções no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace: a transformada da integral de uma função $ f(t) $ é igual à transformada de $ f(t) $ dividida por $ s $. Em termos de fórmula, isso fica assim:
f(t)
onde $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $.

Passo 3

Agora, vamos integrar a função $ f(t) = \cos(8t) $. A integral de $ \cos(8t) $ em relação a $ t $ é:
f(t) = cos(8t)
Como estamos lidando com transformadas de Laplace, podemos ignorar a constante de integração $ C $.

Passo 4

Aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 2, temos:
Lintegral cos(8t) dt = Lcos(8t)s
Mas sabemos que a integral de $ \cos(8t) $ é $ \frac{\sin(8t)}{8} $, então:
cos(8t)

Passo 5

Sabemos pela questão que $ \mathcal{L}{\sin(8t)} = \frac{8}{s^2 + 64} $. Então, a transformada da integral que encontramos é:
Lsin(8t) = 8s^2 + 64
Portanto:
Lsin(8t)8 = 18 cdot 8s^2 + 64 = 1s^2 + 64

Passo 6

Agora, vamos isolar $ \mathcal{L}{\cos(8t)} $ multiplicando ambos os lados da equação por $ s $:
Lcos(8t)

Resposta

A transformada de Laplace de $ f(t) = \cos(8t) $ é:
f(t) = cos(8t)

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