As integrais abaixo têm soluções analíticas trabalhosas ou impossíveis, resolva-as numericamente usando a 1^a Regra de Simpson com 3 e depois com 5 pontos. Compare os resultados.
a) integral0^1 4 e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral da função de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente em Técnicas de Integração Numérica. Para resolver isso, vamos usar a Regra de Simpson com 3 pontos e depois com 5 pontos, e depois comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra de Simpson. É um método para aproximar o valor de integrais definidas. Basicamente, a gente divide a área sob a curva em partes menores e usa parábolas para estimar cada parte. Com 3 pontos, estamos usando duas subintervalos, e com 5 pontos, estamos usando quatro subintervalos.

Passo 3

Vamos começar aplicando a Regra de Simpson com 3 pontos. A fórmula da Regra de Simpson com 3 pontos é:
integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(a) + 4f(a+b2) + f(b) ]
Onde h = 1 - 02 = 0.5 . No nosso caso, e , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores de f(0) = 4 e^2 cdot 0 = 4 cdot 1 = 4 nos pontos necessários:
f(0.5) = 4 e^2 cdot 0.5 = 4 e^1 approx 4 cdot 2.71828 approx 10.8731
f(1) = 4 e^2 cdot 1 = 4 e^2 approx 4 cdot 7.38906 approx 29.5562

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da Regra de Simpson com 3 pontos:
integral0^1 4 e^2x dx approx 0.53 [ 4 + 4 cdot 10.8731 + 29.5562 ]
= 0.53 [ 4 + 43.4924 + 29.5562 ]
= 0.53 cdot 77.0486
= 0.5 cdot 77.04863 approx 38.52433 approx 12.8414

Passo 6

Agora, vamos fazer a Regra de Simpson com 5 pontos. Nesse caso, a fórmula é um pouco mais elaborada e usamos quatro subintervalos. A fórmula geral fica:
integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) + 4f(a+3h) + f(b) ]
Onde h = 1 - 04 = 0.25 . No nosso caso:

Passo 7

Vamos calcular os valores de f(0) = 4 e^0 = 4 nos cinco pontos:
f(0.25) = 4 e^2 cdot 0.25 = 4 e^0.5 approx 4 cdot 1.64872 approx 6.5949
f(0.5) = 4 e^1 approx 10.8731
f(0.75) = 4 e^2 cdot 0.75 = 4 e^1.5 approx 4 cdot 4.48169 approx 17.9268
f(1) = 4 e^2 approx 29.5562

Passo 8

Substituindo esses valores na fórmula da Regra de Simpson com 5 pontos:
integral0^1 4 e^2x dx approx 0.253 [ 4 + 4 cdot 6.5949 + 2 cdot 10.8731 + 4 cdot 17.9268 + 29.5562 ]
= 0.253 [ 4 + 26.3796 + 21.7462 + 71.7072 + 29.5562 ]
= 0.253 cdot 152.3882
= 0.25 cdot 152.38823 approx 38.09703 approx 12.6990

Resposta

Usando a Regra de Simpson com 3 pontos, a aproximação da integral é aproximadamente 12.8414. Com 5 pontos, a aproximação é aproximadamente 12.6990. Portanto, a Regra de Simpson com 5 pontos fornece um resultado mais preciso para a integral de de 0 a 1.

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