As integrais abaixo têm soluções analíticas trabalhosas ou impossíveis, resolva-as numericamente usando a
Regra de Simpson com 3 e depois com 5 pontos. Compare os resultados.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral da função
de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente em Técnicas de Integração Numérica. Para resolver isso, vamos usar a Regra de Simpson com 3 pontos e depois com 5 pontos, e depois comparar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra de Simpson. É um método para aproximar o valor de integrais definidas. Basicamente, a gente divide a área sob a curva em partes menores e usa parábolas para estimar cada parte. Com 3 pontos, estamos usando duas subintervalos, e com 5 pontos, estamos usando quatro subintervalos.
Passo 3
Vamos começar aplicando a Regra de Simpson com 3 pontos. A fórmula da Regra de Simpson com 3 pontos é:
Onde
. No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores de
nos pontos necessários:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da Regra de Simpson com 3 pontos:
Passo 6
Agora, vamos fazer a Regra de Simpson com 5 pontos. Nesse caso, a fórmula é um pouco mais elaborada e usamos quatro subintervalos. A fórmula geral fica:
Onde
. No nosso caso:
Passo 7
Vamos calcular os valores de
nos cinco pontos:
Passo 8
Substituindo esses valores na fórmula da Regra de Simpson com 5 pontos:
Resposta
Usando a Regra de Simpson com 3 pontos, a aproximação da integral é aproximadamente 12.8414. Com 5 pontos, a aproximação é aproximadamente 12.6990. Portanto, a Regra de Simpson com 5 pontos fornece um resultado mais preciso para a integral de
de 0 a 1.
Exercícios relacionados
Determine os coeficientes
e
da parábola que passa pelos pontos
e
e
.
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos e
na equação
e construa um sistema linear onde as incógnitas são
e
. Resolva o sistema usando o Método de Gauss-Seidel. Use
.
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos
Utilize o método gráfico para isolar as raízes das funções. Escreva um intervalo que contenha cada raiz.
c)
c)
b) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos
e
. Compare com os coeficientes da reta do item (a).
a) Utilize o Método dos Mínimos Quadrados na versão matricial para ajustar linearmente os dados da tabela.