As integrais abaixo têm soluções analíticas trabalhosas ou impossíveis, resolva-as numericamente usando a Regra de Simpson com 3 e depois com 5 pontos. Compare os resultados.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral da função de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente em Técnicas de Integração Numérica. Para resolver isso, vamos usar a Regra de Simpson com 3 pontos e depois com 5 pontos, e depois comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra de Simpson. É um método para aproximar o valor de integrais definidas. Basicamente, a gente divide a área sob a curva em partes menores e usa parábolas para estimar cada parte. Com 3 pontos, estamos usando duas subintervalos, e com 5 pontos, estamos usando quatro subintervalos.

Passo 3

Vamos começar aplicando a Regra de Simpson com 3 pontos. A fórmula da Regra de Simpson com 3 pontos é:
Onde . No nosso caso, e , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores de nos pontos necessários:

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da Regra de Simpson com 3 pontos:

Passo 6

Agora, vamos fazer a Regra de Simpson com 5 pontos. Nesse caso, a fórmula é um pouco mais elaborada e usamos quatro subintervalos. A fórmula geral fica:
Onde . No nosso caso:

Passo 7

Vamos calcular os valores de nos cinco pontos:

Passo 8

Substituindo esses valores na fórmula da Regra de Simpson com 5 pontos:

Resposta

Usando a Regra de Simpson com 3 pontos, a aproximação da integral é aproximadamente 12.8414. Com 5 pontos, a aproximação é aproximadamente 12.6990. Portanto, a Regra de Simpson com 5 pontos fornece um resultado mais preciso para a integral de de 0 a 1.

Exercícios relacionados

Determine os coeficientes e da parábola que passa pelos pontos e e .
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos e na equação e construa um sistema linear onde as incógnitas são e . Resolva o sistema usando o Método de Gauss-Seidel. Use .
Utilize o método gráfico para isolar as raízes das funções. Escreva um intervalo que contenha cada raiz.
c)
b) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos e . Compare com os coeficientes da reta do item (a).
a) Utilize o Método dos Mínimos Quadrados na versão matricial para ajustar linearmente os dados da tabela.