a) Utilize o Método dos Mínimos Quadrados na versão matricial para ajustar linearmente os dados da tabela.

Passo 1

O problema pede para a gente usar o Método dos Mínimos Quadrados na versão matricial para ajustar linearmente os dados de uma tabela. Isso significa que queremos encontrar a melhor linha que se encaixa nos pontos da tabela, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores estimados pela linha. Vamos precisar entender álgebra linear básica, especialmente operações com matrizes, para aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados da tabela em duas matrizes: uma matriz X = 1 & x1 1 & x2 vdots & vdots 1 & xn que contém os valores das variáveis independentes (geralmente com uma coluna de 1s para o termo constante) e uma matriz Y = y1 y2 vdots yn que contém os valores das variáveis dependentes.
Por exemplo, se tivermos pontos de dados, nossa matriz será:
E nossa matriz será:

Passo 3

O objetivo é encontrar o vetor de parâmetros Y = Xbeta + epsilon que melhor ajusta os dados na equação:
Aqui, é um vetor que contém os coeficientes que queremos determinar, e representa o erro.

Passo 4

Para encontrar beta = (X^T X)^-1 X^T Y que minimiza os erros quadráticos, usamos a fórmula dos Mínimos Quadrados:
Onde:
  • é a matriz transposta de .
  • é a inversa da matriz .

Passo 5

Primeiro, calculamos X^T X = 1 & 1 & cdots & 1 x1 & x2 & cdots & xn 1 & x1 1 & x2 vdots & vdots 1 & xn = n & sumi=1^nxi sumi=1^nxi & sumi=1^nxi^2 :

Passo 6

Em seguida, calculamos X^T Y = 1 & 1 & cdots & 1 x1 & x2 & cdots & xn y1 y2 vdots yn = sumi=1^nyi sumi=1^nxi yi :

Passo 7

Agora, calculamos a inversa de (X^T X)^-1 = 1n sum xi^2 - (sum xi)^2 sum xi^2 & -sum xi -sum xi & n :

Passo 8

Finalmente, multiplicamos beta = (X^T X)^-1 X^T Y por para encontrar :
Isso nos dá os coeficientes da reta de regressão linear que melhor ajusta os dados pela minimização dos quadrados dos erros.

Resposta

Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados na versão matricial, encontramos os coeficientes beta = (X^T X)^-1 X^T Y que ajustam linearmente os dados da tabela através da fórmula:
Esses coeficientes representam a melhor reta de ajuste que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os estimados.

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