a) Utilize o Método dos Mínimos Quadrados na versão matricial para ajustar linearmente os dados da tabela.

Passo 1

O problema pede para a gente usar o Método dos Mínimos Quadrados na versão matricial para ajustar linearmente os dados de uma tabela. Isso significa que queremos encontrar a melhor linha que se encaixa nos pontos da tabela, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores estimados pela linha. Vamos precisar entender álgebra linear básica, especialmente operações com matrizes, para aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados da tabela em duas matrizes: uma matriz que contém os valores das variáveis independentes (geralmente com uma coluna de 1s para o termo constante) e uma matriz que contém os valores das variáveis dependentes.
Por exemplo, se tivermos pontos de dados, nossa matriz será:
E nossa matriz será:

Passo 3

O objetivo é encontrar o vetor de parâmetros que melhor ajusta os dados na equação:
Aqui, é um vetor que contém os coeficientes que queremos determinar, e representa o erro.

Passo 4

Para encontrar que minimiza os erros quadráticos, usamos a fórmula dos Mínimos Quadrados:
Onde:
  • é a matriz transposta de .
  • é a inversa da matriz .

Passo 5

Primeiro, calculamos :

Passo 6

Em seguida, calculamos :

Passo 7

Agora, calculamos a inversa de :

Passo 8

Finalmente, multiplicamos por para encontrar :
Isso nos dá os coeficientes da reta de regressão linear que melhor ajusta os dados pela minimização dos quadrados dos erros.

Resposta

Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados na versão matricial, encontramos os coeficientes que ajustam linearmente os dados da tabela através da fórmula:
Esses coeficientes representam a melhor reta de ajuste que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os estimados.

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b) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos e . Compare com os coeficientes da reta do item (a).
As integrais abaixo têm soluções analíticas trabalhosas ou impossíveis, resolva-as numericamente usando a Regra de Simpson com 3 e depois com 5 pontos. Compare os resultados.
a)
Ajustar os pontos da tabela à função :
i 1 2 3 4 5
0,1 1,5 3,3 4,5 5
5,9 8,8 12 19,8 21,5
Encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI) .
Na malha de com
a)