integral 15 sen^2 x cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifica a expressão e nos permite integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que temos potências de e integral 15 sen^2 x cos^3 x , dx = integral 15 sen^2 x (1 - sen^2 x) cos x , dx na integral. Uma boa estratégia é separar uma potência ímpar de , ou seja, , e reescrever uma parte dela usando uma identidade trigonométrica.
Então, reescrevemos como . Agora, lembrando que , podemos substituir na integral:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
Substituindo u = sen x Rightarrow du = cos x , dx e integral 15 u^2 (1 - u^2) , du na integral, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
15 u^2 (1 - u^2) = 15 u^2 - 15 u^4
Então, a integral fica:
integral (15 u^2 - 15 u^4) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 15 u^2 , du - integral 15 u^4 , du = 15 cdot u^33 - 15 cdot u^55 + C = 5 u^3 - 3 u^5 + C

Passo 6

Por fim, substituímos 5 (sen x)^3 - 3 (sen x)^5 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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