integral cos ^5(3-3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos^5(3-3x) , dx. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e redução de potências trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição pra simplificar a integral. Vamos deixar u = 3 - 3x. Assim, a derivada de u em relação a x é du/dx = -3, o que dá dx = -13 du.

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
integral cos^5(u) cdot (-13) du = -13 integral cos^5(u) , du
Então, nossa nova integral é -13 integral cos^5(u) , du.

Passo 4

Para integrar cos^5(u) , du, vamos usar a identidade trigonométrica cos^2(u) = 1 - sin^2(u). Podemos reescrever cos^5(u) como cos^4(u) cdot cos(u) e depois:
cos^4(u) = (cos^2(u))^2 = (1 - sin^2(u))^2
Então, temos:
cos^5(u) = (1 - sin^2(u))^2 cdot cos(u)

Passo 5

Agora, fazemos outra substituição: seja v = sin(u), então dv = cos(u) , du. Substituindo na integral:
-13 integral (1 - v^2)^2 , dv

Passo 6

Vamos expandir (1 - v^2)^2:
(1 - v^2)^2 = 1 - 2v^2 + v^4
Então, a integral vira:
-13 integral (1 - 2v^2 + v^4) , dv

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
-13 ( integral 1 , dv - 2 integral v^2 , dv + integral v^4 , dv ) = -13 ( v - 23v^3 + 15v^5 ) + C

Passo 8

Voltamos às variáveis originais. Lembrando que v = sin(u) e u = 3 - 3x, substituímos de volta:
-13 ( sin(3 - 3x) - 23sin^3(3 - 3x) + 15sin^5(3 - 3x) ) + C

Resposta

A integral integral cos^5(3-3x) , dx é igual a:
-13 sin(3 - 3x) + 29 sin^3(3 - 3x) - 115 sin^5(3 - 3x) + C

Exercícios relacionados