Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição que aprendemos em cálculo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que pode ser escrita como . Então, substituímos:

Passo 3

Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador:

Passo 4

Vamos reescrever a integral com essa nova expressão:

Passo 5

Agora, separamos a integral:
Conhecemos a integral de , que é . Para , usamos uma identidade para facilitar a integração.

Passo 6

Usamos a identidade e sabemos que . Então:

Passo 7

Substituímos de volta na integral:
Distribuindo:
Os termos e se cancelam.

Passo 8

Fica então:
Fazemos a substituição , então . A integral se torna:

Passo 9

Integrando:
Voltando para :

Resposta

A integral é igual a .

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