Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de
em relação a
. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição que aprendemos em cálculo. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então, substituímos:
Passo 3
Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador:
Passo 4
Vamos reescrever a integral com essa nova expressão:
Passo 5
Agora, separamos a integral:
Conhecemos a integral de
, que é
. Para
, usamos uma identidade para facilitar a integração.
Passo 6
Usamos a identidade
e sabemos que
. Então:
Passo 7
Substituímos de volta na integral:
Distribuindo:
Os termos
e
se cancelam.
Passo 8
Fica então:
Fazemos a substituição
, então
. A integral se torna:
Passo 9
Integrando:
Voltando para
:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Problema 2. (Use coordenadas cilíndricas)
Um sólido é delimitado pelo cone
e pelo plano
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional à distância do ponto
ao eixo
. Encontre a massa de
.
Um sólido