integral -3 cos ^2 xsen^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição que aprendemos em cálculo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que -3 cos^2 xsin^4 x = -3 (1 - sin^2 x)sin^4 x pode ser escrita como . Então, substituímos:

Passo 3

Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador:
-3 (1 - sin^2 x)sin^4 x = -3 ( 1sin^4 x - sin^2 xsin^4 x ) = -3 ( csc^4 x - csc^2 x )

Passo 4

Vamos reescrever a integral com essa nova expressão:
integral -3 cos^2 xsin^4 x dx = -3 integral ( csc^4 x - csc^2 x ) dx

Passo 5

Agora, separamos a integral:
-3 integral csc^4 x , dx + 3 integral csc^2 x , dx
Conhecemos a integral de , que é . Para , usamos uma identidade para facilitar a integração.

Passo 6

Usamos a identidade csc^4 x = csc^2 x (1 + cot^2 x) e sabemos que . Então:

Passo 7

Substituímos de volta na integral:
-3 integral csc^2 x (1 + cot^2 x) dx + 3 integral csc^2 x , dx
Distribuindo:
-3 integral csc^2 x , dx -3 integral csc^2 x cot^2 x , dx + 3 integral csc^2 x , dx
Os termos e se cancelam.

Passo 8

Fica então:
-3 integral csc^2 x cot^2 x , dx
Fazemos a substituição -3 integral u^2 (-du) = 3 integral u^2 du , então . A integral se torna:

Passo 9

Integrando:
3 cdot u^33 + C = u^3 + C
Voltando para cot^3 x + C :

Resposta

A integral é igual a .

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