integral 48 sen^2 x cos ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar algumas identidades trigonométricas importantes que vão nos ajudar a simplificar a integral:
sen^2 x = 1 - cos 2x2
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Essas identidades transformam potências de seno e cosseno em expressões mais fáceis de integrar.

Passo 3

Vamos substituir essas identidades na integral original:
integral 48 sen^2 x cos^4 x , dx = integral 48 (1 - cos 2x2) (1 + cos 2x2)^2 , dx

Passo 4

Vamos simplificar os coeficientes:
48 (12) (12)^2 = 48 cdot 12 cdot 14 = 48 cdot 18 = 6
Então, a integral fica:
6 integral (1 - cos 2x)(1 + cos 2x)^2 , dx

Passo 5

Vamos expandir (1 + cos 2x)^2 = 1 + 2 cos 2x + cos^2 2x :
(1 - cos 2x)(1 + 2 cos 2x + cos^2 2x) = 1 + 2 cos 2x + cos^2 2x - cos 2x - 2 cos^2 2x - cos^3 2x
Agora, multiplicamos por 1 + cos 2x - cos^2 2x - cos^3 2x :
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, a integral fica:
6 integral (1 + cos 2x - cos^2 2x - cos^3 2x) , dx
Vamos separar a integral em partes:
6 ( integral 1 , dx + integral cos 2x , dx - integral cos^2 2x , dx - integral cos^3 2x , dx )

Passo 7

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente:
  1. Primeira integral:
integral 1 , dx = x + C
  1. Segunda integral:
integral cos 2x , dx = sin 2x2 + C
  1. Terceira integral:
    Para cos^2 2x = 1 + cos 4x2 , usamos a identidade novamente:
integral cos^2 2x , dx = integral 1 + cos 4x2 , dx = 12 x + sin 4x8 + C
Então,
integral cos^3 2x , dx = integral cos^2 2x cdot cos 2x , dx = integral (1 - sin^2 2x) cdot du2 = 12 integral (1 - u^2) , du
  1. Quarta integral:
    Para 12 ( u - u^33 ) + C = 12 sin 2x - 16 sin^3 2x + C , usamos uma substituição. Se , então , ou seja, .
Reescrevendo:
Integrando:

Passo 8

Agora, juntamos todas as partes:
6 ( x + sin 2x2 - ( 12 x + sin 4x8 ) - ( 12 sin 2x - 16 sin^3 2x ) ) + C
Simplificando:
6 ( 12 x - sin 4x8 + 16 sin^3 2x ) + C
Multiplicando o 6:
3x - 68 sin 4x + 66 sin^3 2x + C = 3x - 34 sin 4x + sin^3 2x + C

Resposta

A integral 3x - 34 sin 4x + sin^3 2x + C é igual a:

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