integral 2 x sen^4(x^2-1) d x

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral que envolve uma função composta e uma potência de seno. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, também conhecida como substituição por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a integral fazendo uma substituição. Seja u = x^2 - 1. Agora, vamos derivar u em relação a x:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Perceba que 2x , dx é exatamente o que temos na nossa integral original! Então, podemos substituir:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral . Para integrar potências de funções trigonométricas como o seno, a gente pode usar identidades trigonométricas de redução de potência. Uma identidade útil para é:
Isso simplifica a nossa integral para:
integral sen^4(u) , du

Passo 4

Agora, vamos integrar termo por termo:
integral 38 du = 38u
Então, juntando tudo:
onde integral -12 cos(2u) du = -12 cdot sen(2u)2 = -14 sen(2u) é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos voltar à variável original substituindo u = x^2 - 1:

Resposta

A integral resolve para:

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