integral 15 sen^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada redução de potências e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte . Como o expoente é ímpar, podemos separar um e reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica para substituir :
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja 15 integral (1 - u^2)^2 cdot (-du) = -15 integral (1 - u^2)^2 , du , então ou . Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
-15 integral (1 - 2u^2 + u^4) , du = -15 ( integral 1 , du - 2 integral u^2 , du + integral u^4 , du )
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral 1 , du = u
integral u^2 , du = u^33
integral u^4 , du = u^55
Substituindo na expressão:
-15 ( u - 2 cdot u^33 + u^55 ) = -15 ( u - 2u^33 + u^55 )

Passo 7

Agora, vamos distribuir o -15u + 10u^3 - 3u^5 :

Passo 8

Lembrando que fizemos -15 cos x + 10 cos^3 x - 3 cos^5 x + C , substituímos de volta:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
-15 cos x + 10 cos^3 x - 3 cos^5 x + C

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