integral cos x cdot tg(sen x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno ( ) e a tangente ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Olhe para a função dentro da tangente: u = sin x . Vamos chamar essa parte de .
Então, seja:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = cos x em relação a du = cos x , dx , que é . Isso vai nos ajudar a substituir na integral.
Derivando em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral cos x cdot tan(sin x) , dx = integral tan(u) , du . Substituímos por e por :

Passo 5

A integral de integral tan(u) , du = -ln|cos u| + C é algo que a gente pode resolver diretamente. Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original -ln|cos u| + C = -ln|cos(sin x)| + C . Lembrando que , substituímos de volta na expressão:

Resposta

A solução da integral é:
-ln|cos(sin x)| + C

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