integral sen^3 2 theta cos ^4 2 theta d theta

Passo 1

Beleza, temos que resolver a integral . Isso está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente às técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e fazer uma substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trig. Sabemos que . Então podemos reescrever como :
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = cos(2theta)
Então, derivando ambos os lados em relação a dudtheta = -2sen(2theta) implies dtheta = du-2sen(2theta) :
Mas na nossa integral temos , então:

Passo 4

Substituindo integral (1 - u^2) cdot u^4 cdot (-du2) = -12 integral (1 - u^2)u^4 du na integral, ficamos com:
- 12 integral (u^4 - u^6) du
Simplificando dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
- 12 ( integral u^4 du - integral u^6 du ) = - 12 ( u^55 - u^77 ) + C
Simplificando:
- u^510 + u^714 + C

Passo 6

Por fim, substituímos - cos^5(2theta)10 + cos^7(2theta)14 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:
- cos^5(2theta)10 + cos^7(2theta)14 + C

Exercícios relacionados