Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para integrar a função
. Vamos usar conceitos de integração envolvendo funções trigonométricas e substituição. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as identidades trigonométricas e a técnica de substituição na integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos observar que temos potências ímpares de seno e cosseno. Uma estratégia útil para integrar produtos de potências ímpares de funções trigonométricas é separar um fator de seno ou cosseno e usar uma identidade trigonométrica para o restante.
Passo 3
Vamos separar uma potência de seno e uma de cosseno:
Passo 4
Agora, lembra da identidade trigonométrica
? Vamos usar isso para reescrever
:
Então, substituindo na expressão:
Passo 5
Vamos simplificar multiplicando os termos:
Passo 6
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Então, calculamos a derivada de
em relação a
:
Ou seja:
Passo 7
Substituindo na integral original:
Com a substituição feita:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, substituímos
de volta em termos de
:
Simplificando: