Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para integrar a função . Vamos usar conceitos de integração envolvendo funções trigonométricas e substituição. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as identidades trigonométricas e a técnica de substituição na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos observar que temos potências ímpares de seno e cosseno. Uma estratégia útil para integrar produtos de potências ímpares de funções trigonométricas é separar um fator de seno ou cosseno e usar uma identidade trigonométrica para o restante.

Passo 3

Vamos separar uma potência de seno e uma de cosseno:

Passo 4

Agora, lembra da identidade trigonométrica ? Vamos usar isso para reescrever :
Então, substituindo na expressão:

Passo 5

Vamos simplificar multiplicando os termos:

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Então, calculamos a derivada de em relação a :
Ou seja:

Passo 7

Substituindo na integral original:
Com a substituição feita:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, substituímos de volta em termos de :
Simplificando:

Resposta

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