integral sen^3(1-2 theta) cos ^3(1-2 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para integrar a função sin^3(1-2theta) cos^3(1-2theta). Vamos usar conceitos de integração envolvendo funções trigonométricas e substituição. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as identidades trigonométricas e a técnica de substituição na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos observar que temos potências ímpares de seno e cosseno. Uma estratégia útil para integrar produtos de potências ímpares de funções trigonométricas é separar um fator de seno ou cosseno e usar uma identidade trigonométrica para o restante.

Passo 3

Vamos separar uma potência de seno e uma de cosseno:
sin^3(1-2theta) cos^3(1-2theta) = sin^2(1-2theta) cos^2(1-2theta) cdot sin(1-2theta) cos(1-2theta)

Passo 4

Agora, lembra da identidade trigonométrica sin^2x = 1 - cos^2x? Vamos usar isso para reescrever sin^2(1-2theta):
sin^2(1-2theta) = 1 - cos^2(1-2theta)
Então, substituindo na expressão:
(1 - cos^2(1-2theta)) cos^2(1-2theta) cdot sin(1-2theta) cos(1-2theta)

Passo 5

Vamos simplificar multiplicando os termos:
(1 - cos^2(1-2theta)) cos^2(1-2theta) cdot sin(1-2theta) cos(1-2theta) = [cos^2(1-2theta) - cos^4(1-2theta)] cdot sin(1-2theta) cos(1-2theta)

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = cos(1-2theta)
Então, calculamos a derivada de u em relação a theta:
dudtheta = -sin(1-2theta) cdot (-2) = 2sin(1-2theta)
Ou seja:
sin(1-2theta) dtheta = du2

Passo 7

Substituindo na integral original:
integral sin^3(1-2theta) cos^3(1-2theta) dtheta = integral [cos^2(1-2theta) - cos^4(1-2theta)] cdot sin(1-2theta) cos(1-2theta) dtheta
Com a substituição feita:
= integral [u^2 - u^4] cdot du2 = 12 integral (u^2 - u^4) du

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 ( integral u^2 du - integral u^4 du ) = 12 ( u^33 - u^55 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Agora, substituímos u de volta em termos de theta:
= 12 ( cos^3(1-2theta)3 - cos^5(1-2theta)5 ) + C
Simplificando:
= cos^3(1-2theta)6 - cos^5(1-2theta)10 + C

Resposta

integral sin^3(1-2theta) cos^3(1-2theta) dtheta = cos^3(1-2theta)6 - cos^5(1-2theta)10 + C

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