Vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais que contêm expressões com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a integral tem a forma , onde . Sabemos que para resolver integrais desse tipo, uma boa estratégia é usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar isso claro: a substituição vai ajudar a simplificar a raiz quadrada.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Essa escolha é útil porque a identidade trigonométrica vai simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Agora, precisamos encontrar em termos de .
Passo 4
Derivando em relação a , temos . Substituímos e na integral original:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
A integral de é conhecida e igual a , onde é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então . Usando o triângulo retângulo, podemos encontrar que .
Passo 8
Substituindo e de volta na expressão da integral:
Podemos simplificar o logaritmo:
Como pode ser absorvido na constante , podemos escrever a resposta final como:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.