Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais que contêm expressões com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a integral tem a forma , onde . Sabemos que para resolver integrais desse tipo, uma boa estratégia é usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar isso claro: a substituição vai ajudar a simplificar a raiz quadrada.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Essa escolha é útil porque a identidade trigonométrica vai simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Agora, precisamos encontrar em termos de .

Passo 4

Derivando em relação a , temos . Substituímos e na integral original:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

A integral de é conhecida e igual a , onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então . Usando o triângulo retângulo, podemos encontrar que .

Passo 8

Substituindo e de volta na expressão da integral:
Podemos simplificar o logaritmo:
Como pode ser absorvido na constante , podemos escrever a resposta final como:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Se a temperatura inicial do componente é e a taxa de variação da temperatura é no instante segundos, escreva a Série de Taylor para até o segundo termo.