Se a temperatura inicial do componente é
e a taxa de variação da temperatura é
no instante
segundos, escreva a Série de Taylor para
até o segundo termo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura de um componente ao longo do tempo,
. A temperatura inicial é
e sabemos que a taxa de variação da temperatura no instante
segundos é de
. A matéria que vamos usar aqui é a Série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções usando polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a Série de Taylor. Para uma função
expandida em torno de
, a série é dada por:
Como queremos até o segundo termo, vamos considerar apenas os dois primeiros termos dessa série.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que já conhecemos:
- A temperatura inicial é
. - A derivada primeira no instante
é .
Como
, podemos simplificar
para
.
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da Série de Taylor, temos:
Estamos ignorando os termos de ordem superior (
,
, etc.) porque a questão pede até o segundo termo.
Resposta
A Série de Taylor para
até o segundo termo é: