Se a temperatura inicial do componente é T0 e a taxa de variação da temperatura é dT/dt = 5 ºC/s no instante t0 = 0 segundos, escreva a Série de Taylor para T(t) até o segundo termo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura de um componente ao longo do tempo, . A temperatura inicial é e sabemos que a taxa de variação da temperatura no instante segundos é de . A matéria que vamos usar aqui é a Série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções usando polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a Série de Taylor. Para uma função expandida em torno de , a série é dada por:
Como queremos até o segundo termo, vamos considerar apenas os dois primeiros termos dessa série.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que já conhecemos:
  • A temperatura inicial é .
  • A derivada primeira no instante é .
Como , podemos simplificar para .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da Série de Taylor, temos:
Estamos ignorando os termos de ordem superior ( , , etc.) porque a questão pede até o segundo termo.

Resposta

A Série de Taylor para até o segundo termo é:

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