Então, temos que resolver a integral . Esse tipo de integral envolve funções com raízes quadradas e é comum em cálculo quando trabalhamos com integrais que têm a forma . Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que é igual a , então podemos reescrever a expressão dentro da raiz como . Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos substituir por . Ou seja, deixamos:
Essa substituição é útil porque transforma a expressão dentro da raiz em uma forma que podemos simplificar usando identidades trigonométricas.
Passo 4
Com , vamos calcular :
Agora, substituímos e na integral original:
Passo 5
Simplificando o que está dentro da raiz:
Sabemos da identidade trigonométrica que , então:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
A integral de é uma forma padrão conhecida.
Passo 7
A integral de é:
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Agora, precisamos voltar à variável original . Sabemos que , então:
E, usando a identidade :
Passo 9
Substituindo e de volta na expressão da integral:
Podemos simplificar removendo o 7 dentro do logaritmo, já que ele se torna uma constante que pode ser absorvida na constante :