integral 1raiz49+x^2 d x

Passo 1

Então, temos que resolver a integral . Esse tipo de integral envolve funções com raízes quadradas e é comum em cálculo quando trabalhamos com integrais que têm a forma . Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que integral 1raiz7^2 + x^2 , dx é igual a , então podemos reescrever a expressão dentro da raiz como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos substituir x = 7 tan theta por . Ou seja, deixamos:
Essa substituição é útil porque transforma a expressão dentro da raiz em uma forma que podemos simplificar usando identidades trigonométricas.

Passo 4

Com dx = 7 sec^2 theta , dtheta , vamos calcular integral 1raiz7^2 + (7 tan theta)^2 cdot 7 sec^2 theta , dtheta :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Simplificando o que está dentro da raiz:
raiz49 + 49 tan^2 theta = raiz49 (1 + tan^2 theta) = 7 raiz1 + tan^2 theta
Sabemos da identidade trigonométrica que raiz49 + 49 tan^2 theta = 7 sec theta , então:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral 17 sec theta cdot 7 sec^2 theta , dtheta = integral sec theta , dtheta
A integral de é uma forma padrão conhecida.

Passo 7

A integral de integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C é:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, precisamos voltar à variável original tan theta = x7 . Sabemos que sec theta = raiz1 + (x7)^2 = raiz49 + x^27 , então:
E, usando a identidade :

Passo 9

Substituindo ln | raiz49 + x^27 + x7 | + C = ln | raiz49 + x^2 + x7 | + C e ln |raiz49 + x^2 + x| + C de volta na expressão da integral:
Podemos simplificar removendo o 7 dentro do logaritmo, já que ele se torna uma constante que pode ser absorvida na constante :

Resposta

A integral é igual a .

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