Passo 1

Então, temos que resolver a integral . Esse tipo de integral envolve funções com raízes quadradas e é comum em cálculo quando trabalhamos com integrais que têm a forma . Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é igual a , então podemos reescrever a expressão dentro da raiz como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos substituir por . Ou seja, deixamos:
Essa substituição é útil porque transforma a expressão dentro da raiz em uma forma que podemos simplificar usando identidades trigonométricas.

Passo 4

Com , vamos calcular :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Simplificando o que está dentro da raiz:
Sabemos da identidade trigonométrica que , então:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
A integral de é uma forma padrão conhecida.

Passo 7

A integral de é:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, precisamos voltar à variável original . Sabemos que , então:
E, usando a identidade :

Passo 9

Substituindo e de volta na expressão da integral:
Podemos simplificar removendo o 7 dentro do logaritmo, já que ele se torna uma constante que pode ser absorvida na constante :

Resposta

A integral é igual a .

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Obtenha os seguintes desenvolvimentos dados, indicando, em cada caso, o domínio de convergência da série:
.