integral raiz1-9 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Vamos precisar entender como fazer essa substituição para simplificar a integral e encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da raiz: x = 13 sin theta . Para facilitar a integração, usamos uma substituição trigonométrica. Nesse caso, como temos , podemos fazer a seguinte substituição:
Isso significa que .

Passo 3

Agora, substituímos raiz1 - 9x^2 = raiz1 - 9 (13 sin theta)^2 = raiz1 - sin^2 theta = cos theta na expressão original:
integral raiz1 - 9x^2 , dx = integral cos theta cdot 13 cos theta , dtheta = 13 integral cos^2 theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 4

Para integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 , usamos a identidade trigonométrica:
13 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 16 integral (1 + cos 2theta) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Integrando termo a termo:
16 ( integral 1 , dtheta + integral cos 2theta , dtheta ) = 16 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original theta = arcsin(3x) . Sabemos que:
sin 2theta = 2 cdot 3x cdot raiz1 - 9x^2 = 6x raiz1 - 9x^2
E usando a relação , temos:

Passo 7

Substituímos 16 ( arcsin(3x) + 6x raiz1 - 9x^22 ) + C = 16 arcsin(3x) + x raiz1 - 9x^22 + C e na expressão integrada:

Resposta

A integral x2 raiz1 - 9x^2 + 16 arcsin(3x) + C é igual a:

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