integral0^1 x^4(1-x)^41+x^2 d x=227-pi

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é uma integral definida:
integral0^1 x^4(1-x)^41+x^2 , dx = 227 - pi
Vamos resolver essa integral passo a passo. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo integral, especialmente técnicas de integração de funções racionais e simetrias. Precisaremos expandir o polinômio no numerador e simplificar a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador (1 - x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4 . Isso significa multiplicar x^4(1 - x)^4 = x^4 - 4x^5 + 6x^6 - 4x^7 + x^8 por cada termo do polinômio . Vamos fazer isso:
Multiplicando por :

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na integral original:
integral0^1 x^4 - 4x^5 + 6x^6 - 4x^7 + x^81 + x^2 , dx
Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador integral0^1 ( x^41+x^2 - 4x^51+x^2 + 6x^61+x^2 - 4x^71+x^2 + x^81+x^2 ) , dx :

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada fração. Observamos que:
x^n1 + x^2 = x^n-2 - x^n-4 + x^n-6 - dots
Aplicando isso a cada termo:

Passo 5

Substituindo essas simplificações na integral:
integral0^1 [ (x^2 - 1 + 11+x^2) - 4(x^3 - x) + 6(x^4 - x^2 + 1 - 11+x^2) - 4(x^5 - x^3 + x) + (x^6 - x^4 + x^2 - 1 + 11+x^2) ] , dx
Vamos simplificar os termos semelhantes:
integral0^1 ( x^6 + (-4x^5) + (6x^4 - x^4) + (-4x^3 + 4x^3) + (x^2 - 6x^2 + x^2) + (-1 + 6 - 1) + ( 11+x^2 - 6 cdot 11+x^2 + 11+x^2 ) ) , dx
Simplificando ainda mais:
integral0^1 ( x^6 - 4x^5 + 5x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 4 + ( -4 cdot 11+x^2 ) ) , dx

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^1 ( x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - 41+x^2 ) , dx
Podemos separar essa integral em partes:
integral0^1 x^6 , dx - 4 integral0^1 x^5 , dx + 5 integral0^1 x^4 , dx - 4 integral0^1 x^2 , dx + 4 integral0^1 1 , dx - 4 integral0^1 11+x^2 , dx

Passo 7

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente:

Passo 8

Agora, somamos todos os resultados:
17 - 23 + 1 - 43 + 4 - pi
Vamos converter tudo para frações com denominador 21 para facilitar a soma:
321 - 1421 + 2121 - 2821 + 8421 - pi
Somando os termos:
3 - 14 + 21 - 28 + 8421 - pi = 6621 - pi = 227 - pi

Resposta

Portanto, a solução da integral é:
integral0^1 x^4(1-x)^41+x^2 , dx = 227 - pi

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&
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