integral x^2-6(x^2+4)(x-1) d x

Passo 1

Aqui a gente tem um exercício de cálculo integral onde precisamos resolver a integral de uma fração com polinômios no numerador e denominador. O conteúdo que vamos usar é de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes que facilitem a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração x^2-6(x^2+4)(x-1) = Ax-1 + Bx + Cx^2+4 usando frações parciais. Isso significa que vamos separar a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2 - 6 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x - 1) para eliminar as frações:

Passo 4

Expandindo o lado direito da equação:
x^2 - 6 = A x^2 + 4A + Bx^2 - Bx + Cx - C
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
x^2 - 6 = (A + B)x^2 + (C - B)x + (4A - C)

Passo 5

Para encontrar os valores de 1 = A + B , 0 = C - B e -6 = 4A - C , igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da segunda equação, temos -6 = 4A - B .
  2. Substituindo -6 = 4(1 - B) - B -6 = 4 - 4B - B -6 = 4 - 5B -10 = -5B B = 2 na terceira equação:
  3. Da primeira equação, sabemos que .
  4. Substituindo na equação :
  5. Então, e .

Passo 7

Com os valores encontrados, podemos reescrever a fração original:
x^2-6(x^2+4)(x-1) = -1x-1 + 2x + 2x^2+4

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral -1x-1 , dx + integral 2x + 2x^2+4 , dx

Passo 9

A primeira integral é direta:
- ln|x - 1|
Para a segunda integral, vamos separar em duas partes:
integral 2xx^2+4 , dx + integral 2x^2+4 , dx

Passo 10

Vamos integrar cada parte:
  1. Para ln|x^2 + 4| , fazemos a substituição tan^-1(x2) , então . A integral fica:
  2. Para , lembramos que . Aqui, , então:

Passo 11

Juntando tudo, a integral completa fica:
- ln|x - 1| + ln(x^2 + 4) + tan^-1(x2) + C

Resposta

A integral é:
- ln|x - 1| + ln(x^2 + 4) + tan^-1(x2) + C

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