Passo 1
Aqui a gente tem um exercício de cálculo integral onde precisamos resolver a integral de uma fração com polinômios no numerador e denominador. O conteúdo que vamos usar é de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes que facilitem a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração
usando frações parciais. Isso significa que vamos separar a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Assumimos que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 4
Expandindo o lado direito da equação:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 5
Para encontrar os valores de
,
e
, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
- Da segunda equação, temos
. - Substituindo
na terceira equação: - Da primeira equação, sabemos que
. - Substituindo
na equação : - Então,
e .
Passo 7
Com os valores encontrados, podemos reescrever a fração original:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, vamos separar em duas partes:
Passo 10
Vamos integrar cada parte:
- Para
, fazemos a substituição , então . A integral fica: - Para
, lembramos que . Aqui, , então:
Passo 11
Juntando tudo, a integral completa fica:
Resposta
A integral é: