Passo 1

Aqui a gente tem um exercício de cálculo integral onde precisamos resolver a integral de uma fração com polinômios no numerador e denominador. O conteúdo que vamos usar é de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes que facilitem a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração usando frações parciais. Isso significa que vamos separar a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Expandindo o lado direito da equação:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:

Passo 5

Para encontrar os valores de , e , igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da segunda equação, temos .
  2. Substituindo na terceira equação:
  3. Da primeira equação, sabemos que .
  4. Substituindo na equação :
  5. Então, e .

Passo 7

Com os valores encontrados, podemos reescrever a fração original:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, vamos separar em duas partes:

Passo 10

Vamos integrar cada parte:
  1. Para , fazemos a substituição , então . A integral fica:
  2. Para , lembramos que . Aqui, , então:

Passo 11

Juntando tudo, a integral completa fica:

Resposta

A integral é:

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